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FONDAMENTI DI AUTOMA TICA - Ingegneria Gestionale Prof.ssa Mara T anelli Appello del 25 febbraio 2014 1. Si consideri il sistema dinamico lineare e tempo invariante con ingresso u ed uscita y descritto dalle seguenti equazioni ˙x1(t) = −2x1(t) ˙x2(t) = x1(t) − 2x2(t) + u(t) y(t) = x1(t) − x2(t). 1.1 Studiare la stabilit` a del sistema. 1.2 Calcolare il movimento dell’uscita del sistema associato alla condizione inizialex1(0) = 0, x2(0) = 2 e all’ingresso costante u(t) = u = 2. 1.3 Dire, motivando la risposta, quale tra le risposte ad uno scalino unitario mostrate in figura rappresenta quella relativa all’uscita forzata del sistema di cui al punto 1.1. 2. Si consideri il sistema rappresentato mediante lo schema a blocchi in figura con G1(s), G2(s) e G3(s) funzioni di trasferimento di sistemi dinamici lineari e tempo invarianti di ordine 1. Dire, motivando la risposta, se le seguenti affermazioni sono vere o false: 2.1 Se la funzione di trasferimento G1(s) ha un polo reale positivo, allora il sistema con ingresso u e uscita y ` e instabile. 2.2 La stabilit` a asintotica di G2(s) e G3(s) ` e condizione necessaria perch` e il sistema complessivo in figura sia asintoticamente stabile. 2.3 Determinare l’espressione della funzione di trasferimento H(s) del sistema il sistema complessivo in figura in funzione di G1(s), G2(s) e G3(s). 2.4 Posto G1(s) = s+2 s+10, G2(s) = 1 s+4 e G3(s) = s+4 s+1, cacolare H(s) e dire se il sistema il sistema complessivo in figura ` e asintoticamente stabile. Calcolare poi l’uscita di regime del sistema con funzione di trasferimento H(s) a fronte dell’ingresso u(t) = 2imp(t) − 5 sin(10 t). 3. Si consideri il sistema di controllo in figura, con G(s) = 10 (s+1)(0.1s+1) ed R(s) = 0.1 (s+1) s . 3.1 Si valutino: 1) la stabilit` a del sistema in anello chiuso;…