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Fondamenti di Automatica Prof. Paolo Rocco Soluzioni della seconda prova scritta intermedia 25 giugno 2018 ESERCIZIO 1 Si consideri il sistema di controllo di figura, con y variabile controllata e yo riferimento: L(s)- yo y+ in cui: L(s) =R(s)G(s), R (s) = ρ (1 +s) G(s) = 1 (1 +s)2 1. Si tracci il luogo delle radici al variare di ρ> 0. La funzione di trasferimento L(s) pu` o essere riscritta, ai fini del tracciamento del luogo delle radici, nella seguente forma: L(s) = ρ (s + 1)3 La funzione di trasferimento non ha zeri e presenta 3 poli coincidenti ( m = 0,n = 3), con pi = 1, i = 1, 2, 3. Sia il luogo diretto, sia quello inverso, sono quindi caratterizzati da 3 asintoti, che si incontrano nel punto dell’asse reale di ascissa: xa = ∑ izi−∑ ipi n−m =−(1 + 1 + 1) 3 =−1 Nel luogo diretto, gli asintoti formano con l’asse reale orientato positivamente i seguenti angoli: ϑah = 180◦ +h 360◦ n−m = 60◦ +h 120◦ ovvero, con h = 0, 1, 2, gli angoli 60◦, 180◦, 300◦. Tenendo conto della regola di appartenenza dei punti dell’asse reale al luogo, il luogo diretto si traccia come in figura: -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 -1 -0.5 0 0.5 1 Root Locus Real Axis (seconds -1) Imaginary Axis (seconds -1) 2. Si tracci il luogo delle radici al variare di ρ< 0. Nel luogo inverso, gli asintoti formano con l’asse reale orientato positivamente i seguenti angoli: ϑah = h 360◦ n−m =h 120◦ ovvero, con h = 0, 1, 2, gli angoli 120◦, 240◦, 360◦. Il luogo inverso si traccia come in figura: -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 -1 -0.5 0 0.5 1 Root Locus Real Axis (seconds -1) Imaginary Axis (seconds -1) 3. Si determinino con il luogo delle radici i valori di ρ per cui il sistema in anello chiuso ` e asintoticamente stabile. Nel luogo diretto un polo si muove sull’asse reale, rimanendo nel semipiano sinistro per qualunque valore…