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1 PROVA SCRITTA DI AUTOMATICA I (Prof. Bittanti, BIO A-K) 25 Settembre 2006 Cognome Nome Matricola .................................... ...................... .........……….. .....................………. Verificare che il fascicolo sia costituito da 9 pagine. Scrivere le risposte ai singoli esercizi negli spazi che seguono ogni domanda. Non consegnare fogli addizionali. Non scrivere sul retro. Non si possono consultare libri, appunti, dispense etc. =============================================================================================================== 1. Si consideri il seguente circuito elettrico contenente due resistori, un condensatore e un induttore: Si intende descrivere il comportamento dinamico del circuito. A tale scopo, come indicato nel disegno, si fanno le seguenti assunzioni: − variabili di stato: x 1 = vC e x2 = iL (cioè la tensione ai capi del condensatore C e la corrente che scorre nell’induttanza L e nella resistenza R2), − variabile di ingresso: u (la tensione tra i punti A e B), − variabile d’uscita: y = x2 = iL (la corrente che scorre in L e in R2). Si assume (omettendo, per semplicità, le unità di misura) che 12 1 ,2 , 1 , 12RC R L= == = . 1.a Si verifichi, giustificando la risposta, che le equazioni del sistema dinamico lineare a coefficienti costanti (a tempo continuo) che descrive il comportamento del circuito sono le seguenti: 11 2 21 2 2 1() () () () 2 () () () () () x tx tx t u t xt xt xt yt x t ⎧ =− − +⎪ ⎪ =−⎨ ⎪ =⎪ ⎩   Nota: è utile osservare, ad esempio, che iR1 = iC + iL e che u = vR1 + vC. La chiarezza e precisione nelle risposte saranno oggetto di valutazione Promemoria formule generali: vR i= iC v=  vL i=  A R1 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 -10123456789 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 R2 C…