25 09 06s

Pagina 1

SOLUZIONI PROVA SCRITTA DI AUTOMATICA I (Prof. Bittanti, BIO A-K) 25 Settembre 2006 1. Si consideri il seguente circuito elettrico contenente due resistori, un condensatore e un induttore: Si intende descrivere il comportamento dinamico del circuito. A tale scopo, come indicato nel disegno, si fanno le seguenti assunzioni: − variabili di stato: x 1 = vC e x2 = iL (cioè la tensione ai capi del condensatore C e la corrente che scorre nell’induttanza L e nella resistenza R2), − variabile di ingresso: u (la tensione tra i punti A e B), − variabile d’uscita: y = x2 = iL (la corrente che scorre in L e in R2). Si assume (omettendo, per semplicità, le unità di misura) che 12 1 ,2 , 1 , 12RC R L= == = . 1.a Si verifichi, giustificando la risposta, che le equazioni del sistema dinamico lineare a coefficienti costanti (a tempo continuo) che descrive il comportamento del circuito sono le seguenti: 11 2 21 2 2 1() () () () 2 () () () () () x tx tx t u t xt xt xt yt x t ⎧ =− − +⎪ ⎪ =−⎨ ⎪ =⎪ ⎩   Nota: è utile osservare, ad esempio, che iR1 = iC + iL e che u = vR1 + vC. 1.b Per il sistema di cui al punto 1.a, si dete rmini l’espressione analitica della risposta ()yt corrispondente (per condizioni iniziali nulle) al segnale di ingresso () 3 ()ut r a m pt= . Precisamente, si dica qual è la risposta esatta tra le quattro seguenti: I) 88 2 2() () 2 () c o s s i n ()33 3 22 t tty t sca t ramp t e sca t − ⎡⎤ ⎛⎞ ⎛⎞=− + + + ⎢⎥ ⎜⎟ ⎜⎟⎝⎠ ⎝⎠⎣⎦ II) 88 2 2() () 2 () c o s s i n ()33 3 22 tty t sca t ramp t sca t ⎡⎤ ⎛⎞ ⎛⎞=− + + + ⎢⎥ ⎜⎟ ⎜⎟⎝⎠ ⎝⎠⎣⎦ III) 8() () ()3 ty t ramp t e ramp t −⎡⎤=− ⎣⎦ IV) 82 2 8() () 2 () c o s s i n ()33 3 22 tty t sca t ramp t sca t ⎡⎤ ⎛⎞ ⎛⎞=+ + + ⎢⎥ ⎜⎟ ⎜⎟⎝⎠ ⎝⎠⎣⎦ Soluzione 1.a Si completi la figura in questo modo: Promemoria formule generali: vR i= iC v=  vL i=  A R1 -1…