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Es. 1 Es. 2 Es. 3 Es. 4 T otale Politecnico di Milano - Ingegneria Energetica Metodi Analitici e Numerici (A) 26 Giugno 2017 Cognome: Nome: Matricola: Esercizio 1. a.Si consideri la funzionev(x, t)=et x e t+2ex. Calcolare@tv(x, t) @2 xv(x, t)ev(x,0). b.Determinare la soluzioneu=u(x, t) del problema 8 < : @tu(x, t) @2 xu(x, t)=e t 2ex inR⇥(0,+1), u(x,0) = 0 in R. Verificare i risultati. Soluzioni a.Derivando intuna volta ed inxdue volte, si vede facilmente che @tv(x, t) @2 xv(x, t)=et x+e t et x 2ex=e t 2ex, ed ` e inoltre immediato verificare chev(x,0) =e x 1+2ex. Riassumendo,v` e una soluzione della seguente equazione del calore non omogenea 8 < : @tv(x, t) @2 xv(x, t)=e t 2ex inR⇥(0,+1), v(x,0) =e x 1+2ex inR. b.Cerchiamo una soluzione della formau=v+w,o v ev¨E la funzione introdotta nel punto precedente ew risolve la seguente equazione del calore omogenea 8 < : @tw(x, t) @2 xw(x, t)=0 i n R⇥(0,+1), w(x,0) = e x+1 2ex inR. In base al principio di sovrapposizione (linearit` a dell’equazione del calore), tale funzioneu` e soluzione del problema proposto. PostoKt(x)=( 4⇡t) 1/2e x2 4t(nucleo del calore)e (x)=1 e x 2ex(dato iniziale), utilizzando la formula fondamentale abbiamo quindi che w(x, t)=(Kt⇤ )(x)= 1p 4⇡t Z+1 1 e y2 4t h 1 e (x y) 2ex y i dy = 1p 4⇡t Z+1 1 e y2 4tdy e x Z+1 1 e y2 4t+ydy 2ex Z+1 1 e y2 4t ydy . Per calcolare esplicitamente gli integrali alle riga sopra, ricordiamo preliminarmente l’identit` a gaussiana Z+1 1 e z2 dz=p⇡. Utilizzando le identit` a immediate y2 4t= ✓yp 4t ◆2 ,ey2 4t±y=(y±2t)2 4t t= ✓y±2tp 4t ◆2 t deduciamo che Z+1 1 e y2 4tdy= Z+1 1 e “yp 4t ”2 dy=  poniamoz=yp 4t()dy= p 4tdz = p 4t Z+1 1 e z2 dz= p 4⇡t, e Z+1 1 e y2 4t±ydy= Z+1 1 e “y±2tp 4t ”2 +tdy=  poniamoz=y±2tp 4t()dy= p 4tdz = p 4tet Z+1 1 e z2 dz= p 4⇡tet. Tornando alla…