Esame completo di Metodi Analitici e Numerici Per L'ingegneria per il corso di Energy Engineering presso Politecnico di Milano. Il documento tratta: Goodnotes [ Parrte A [ Es. 1 Es. 2 | Totale Metodi Analitici e Numerici | Docente: Politecnico di Milano 3 Settembre 2026 Ingegneria Energetica Cognome: Nome: Matricola: Parte A. A.1 Risolvere il seguente problema di Cauchy-Dirichlet con dati al bordo non omogenei Ut — Ure = 0…
Esame completo di Metodi Analitici e Numerici Per L'ingegneria per il corso di Energy Engineering presso Politecnico di Milano. Il documento tratta: Goodnotes [ Parrte A [ Es. 1 Es. 2 | Totale Metodi Analitici e Numerici | Docente: Politecnico di Milano 3 Settembre 2026 Ingegneria Energetica Cognome: Nome: Matricola: Parte A. A.1 Risolvere il seguente problema di Cauchy-Dirichlet con dati al bordo non omogenei Ut — Ure = 0…
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Goodnotes [ Parrte A [ Es. 1 Es. 2 | Totale Metodi Analitici e Numerici | Docente: Politecnico di Milano 3 Settembre 2026 Ingegneria Energetica Cognome: Nome: Matricola: Parte A. A.1 Risolvere il seguente problema di Cauchy-Dirichlet con dati al bordo non omogenei Ut — Ure = 0 O<x<1,t>0 u(0,t)=1,u(1,t)=-1 t>0 u (x,0) = —2x +1 +sinrz 0<xr<1 NB. Non è necessario svolgere completamente la separazione di variabili. Risposta: Bisogna innanzitutto rendere il problema di Dirichlet omogeneo. Per fare questo poniamo U(a,t) = u(x,t)+z(2,t) oS x 40 x 2 5 dove z(z,t) = 2x — 1 La U(x,t) soddisfa il problema di Cauchy-Dirichlet W — Ure = 0 0O<ax<1,t>0 u(0,t)=u(1,t)=0 t>0 u(a,0) = sinma 0<r<1 Li La soluzione è U(x,t) = et sin rx e quindi x(a,t) =e" sinme — 27 +1 A.2 Risolvere la seguente equazione mediante la trasformata di Laplace (y(t) = 0 per t < 0): e't*y' (t)=sinht t>0 y(0+)=1 Risposta. Si ha, ponendo £ [y] (s) = Y (s), £[e”*] (= Lly'l(s)=s¥ (s)-1, Clsinhd (s) Applicando la trasformata di Laplace ad entrambi i membri dell’equazione, si ha: da cui e infine
Goodnotes B.1 Risolvere il problema di Cauchy (GRE reRt>0 u(z,0) = g(x reR dove 1 3 a<-2 3% -2<2<0 0 x>0. In Particolare: determinare le caratteristiche e disegnarne la configurazione. Risposta. Qui q(u) = u?/2, q' (u) = u. L'equazione della caratteristica uscente da xo tz = g(xo)t + zo; in particolare: dl T=—-t+ zo 19 < -2 © = got + to —2<m<0 c =qco xo > 0. NAM Come si vede in figura, per 0 < t < 2, le caratteristiche dividono la striscia di piano in 4 regioni: x 1. La semistriscia z < al = 1 2. Il settore delimitato dalle caratteristiche di equazione x = OL -2e z =t —2, in cui è presente un'onda di rarefazione. 3. Il triangolo T, di vertici (—2,0) , (0,2) e (0,0), delimitato dalle caratteris- tiche di equazione z = t — 2 e z = 0, in cui è presente un’onda di compressione. 4 La semistriscia x > 0. Per t > 2, si presenta un’onda d’urto di equazione x = s(t), uscente dal punto (0, 2). Il semipiano t > 2 è diviso nelle 3 regioni 1 z<-=t-2 zł —2<x< s(t) (onda di rarefazione) e x > s(t).
Goodnotes Calcolare l’espressione analitica di u nelle varie regioni del piano. Calcoliamo prima l’espressione analitica dell’onda di rarefazione: + 2 2 wea) => (A) ==. Nel triangolo T, si ha u = g(a-q'(u)t) = È Hoa law du u = ze ut) = zz + zuł og u = 4-2 Calcoliamo ora l’equazione della linea d'urto. Dalla relazione di Rankine-Hugoniot, si ha, essendo un ‘equazione di Burgers: =e. È u; (s(t),t) _ CE 2 s (2) =0. Si trova (essendo s (t) + 2 > 0) con condizione inizia On = 7 not) +2) =Invi+e s(t)+2 = evi ir 50 = VRE 2. l’espressione analitica di u nelle varie regioni del piano è, pertanto: 0<t<2 1 zo—-st-2 WE u(a,t) = -gł-240<t-2 t-2<2<0 ©>0 1 1 73 qsti 2 1 (z,t) = = -5ł-240<vB-2 0 a>vy2t-2
Disegnare la configurazione finale delle caratteristiche e il profilo di u (x, t) per t > 0, fissato generico. Profilo di u (x,t). 0<t<2, fissato x t>2, fissato x+2 us t t = are = u=0 T a SR dar-2 * 4 Made wer Goodnotes
Goodnotes b) Verificare l'applicabilità del Teorema di Lax-Milgram mettendo in evidenza le costanti di continuità e coercività per la forma bilineare, la costante di continuità per il funzionale lineare, la stima di stabilità della soluzione. Risposta. Ossserviamo che, nell’intervallo [—1, 2], 2 T l<sż+1<5 e 0<cos(qr)<1. e Continuità di a : Utilizzando le disuguaglianze di Cauchy-Schwartz e di traccia si ha 2 2 a (u,v)| < Ji u'w'| + [ | + 3C5, |lully llully < (5 + 1+ 18) |lully [lolly 1 J-1 essendo C;, = V6. e Coercività di a : a(u,u) = I. (x? + 1) (w)? + [, (cos (Fo) u? + 3u(2)? > 2 [007 + 3027 = lay a) +302)? 1 Nello spazio V vale la disuguaglianza di equivalenza per cui a(u,u) > |ju'|ipa(=1,2) + 3u(2)? > K [lufy con costante di coercività a = K = 1/19. e Continuità del funzionale F. Usando le disuguaglianze di Cauchy-Schwarz e di traccia, si trova 1 IF < | = lola rat Dite] < (V898+20%) Illy = (79 + 2¥8) lol L2(—1,2) È —Ó Cr + Stima di stabilità: Cr _ 3 lluly <= =19 (46246)
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