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FONDAMENTI DI AUTOMA TICA - Ingegneria Gestionale Prof.ssa Mara T anelli Appello del 26 settembre 2014 1. Si consideri il sistema dinamico non lineare e tempo invaria nte descritto dalle seguenti equazioni ˙x1(t) = 4 x2(t) + (α − 1)x2(t)u(t) ˙x2(t) = −5(x1(t) − α)2 − 4x2 2(t) − 8u2(t) y(t) = 3 x1(t) + 2x2(t), con α parametro reale. 1.1 Si determinino stati e uscita di equilibrio associati al l’ingresso u(t) = u = 0 , t ≥ 0 in funzione di α. 1.2 Si scrivano le equazioni del sistema linearizzato attor no al punto di equilibrio determinato al punto 1.1. 1.3 Si studi la stabilit` a del sistema linearizzato e, se pos sibile, la stabilit` a del movimento di equilibrio del sistema non lineare di partenza. 2. Si consideri la funzione di trasferimento G(s) = 10 0.01s + 1 10s + 1 di un sistema lineare tempo invariante senza autovalori nas costi. 2.1 Calcolare guadagno, tipo, poli e zeri di G(s) e studiare la stabilit` a del sistema lineare tempo invariante avente funzione di trasferimento G(s). 2.3 Tracciare i diagrammi di Bode approssimati di modulo e fa se della risposta in frequenza associata alla funzione di trasferimento G(s). 10 −2 10 −1 10 0 10 1 10 2 10 3 −40 −20 0 20 dB pulsazione Diagramma di Bode − Modulo 10 −2 10 −1 10 0 10 1 10 2 10 3−100 −80 −60 −40 −20 0 gradi pulsazione Diagramma di Bode − Fase 2.4 Tracciare qualitativamente il diagramma polare della r isposta in frequenza associata a G(s). 2.5 Dire, giustificando la risposta, quanto vale l’uscita y(t) di regime del sistema lineare tempo invariante con funzione di trasferimento G(s) associata all’ingresso u(t) = 2+5 sin(0 .1 t)+10 sin(100 t). 3. Si consideri il sistema di controllo in figura, dove G(s) ` e quella introdotta nel precedente esercizio e R(s) = 10s+1 s(0.01s+1) 3.1 Dire, motivando la risposta, se il…