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Politecnico di Milano Scuola di Ingegneria Industriale e dell'Informazione Corso di Studi in Ingegneria Matematica Appello di Modelli e Metodi dell'Inferenza Statistica 26 Settembre 2016 c⃝I diritti d'autore sono riservati. Ogni sfruttamento commerciale non autorizzato sar a perseguito. Nome e cognome: Numero di matricola: Esercizio 1: Sia X1; ::; Xn un campione casuale d'ampiezza n  1 in cui ciascuna variabile abbia legge: f (x; ) =  x2 e  x 1(0;+1)(x); dove   e un parametro reale positivo  > 0. (a) Si trovi W statistica sufficiente, minimale e completa per . (b) Si costruisca lo stimatore di massima verosimiglianza ^ per . (c) Si stabilisca se ^  e consistente per. (d) Si costruisca l'UMVUE per . Si consideri ora un campione di ampiezza n = 1. (e) Si costruisca il test UMP di livello per la veri ca delle ipotesi H0 :  = 0 vs H1 :  = 1; con 1 >  0. (f) Si costruisca il test UMP di livello per la veri ca delle ipotesi H0 :  = 0 vs H1 :  >  0; 1 Esercizio 2: Sia X1; ::; Xn un campione casuale d'ampiezza n  1 in cui ciascuna variabile abbia legge: f (x; ) = x K 1f1;2;:::;g(x); dove   e un parametrointero tale che   1. (a) Si calcoli la costante K in funzione di . (b) Si costruisca lo stimatore dei momenti  per  e stabilire se  e consistente. Fornisce sempre stime ammissibili? (Suggerimento: pu o essere utile ricordare che ∑n j=1 j = n(n + 1)(2n + 1)=6). (c) Si costruisca lo stimatore di massima verosimiglianza ^ per  e stabilire se  e consistente. Fornisce sempre stime ammissibili? (d) Si costruisca la regione critica basata sul rapporto di verosimiglianza per il test di ipotesi: H0 :   0 vs H1 :  >  0; (1) 2 Esercizio 3: Un noto supermercato inglese ha raccolto mediante un sondaggio alcuni dati relativi alla spesa mensile…