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V ersione 1 Parte A – T eoria Domanda 1 .a) Dare la definizione di estremo superiore di un insieme A = {an}n≥1. b) Mostrare che, date due successioni {an}n≥1 e {bn}n≥1 tali che an < bn per ogni n≥ 1, si ha sup{an}≤ sup{bn}. c) Esibire un esempio in cui i due estremi superiori coincidano. Soluzione: a) Cfr. appunti o libro. b) Supponiamo per assurdo che sup {bn} < sup{an}, allora esiste n tale che per ogni n si ha an≥ bn, assurdo poiché per ipotesi an < bn. c) È sufficiente prendere an = 1− 2 n e bn = 1− 1 n2 . Domanda 2 . a) Enunciare il Principio d’induzione . b) V erificare che per ogni numero naturale n≥ 1 si ha che 5 n + 2· 3n−1 + 1 è divisibile per 8. Soluzione: a) Cfr. appunti o libro. b) V ogliamo dimostrare che per ogni n≥ 1 esiste k∈ N tale che 5 n + 2· 3n−1 + 1 = 8k. Per n = 1 l’affermazione è vera; sia ora vera per n = n∗ (cioè: 5 n∗ + 2· 3n∗−1 + 1 = 8m, con m intero opportuno), mostriamo che vale per n = n∗ + 1: 5n∗+1 + 2· 3n∗ + 1 = 5· 5n∗ + 2· 3n∗ + 1 = 5· [ 8m− 2· 3n∗−1− 1] + 2· 3n∗ + 1 = 40m− 10· 3n∗−1 + 2· 3n∗ − 4 = 40m− 4· [ 3n∗−1 + 1] [ osserviamo che 3 n∗−1 + 1 è pari, dunque 3 n∗−1 + 1 = 2h] = 40m− 4· 2h = 8[ 5m− h] e poiché 5 m− h∈ N si ha la tesi. Domanda 3 . a) Dare la definizione successionale e la definizione metrica di limite finito all’infinito. b) V erificare, in base alla definizione metrica, che lim x→+∞ (√ x + 2− √ x− 2 ) = 0+. Soluzione: a) Cfr. appunti o libro. b) La definizione metrica, in questo caso, afferma che ∀ε >0,∃K = Kε > 0 tale che x > K ⇒ 0≤ √ x + 2− √ x− 2< ε. La disequazione 0 ≤ √ x + 2− √ x− 2 è banalmente sempre verificata, la disequazione√ x + 2− √ x− 2< ε, elevando al quadrato (per x≥ 2!) corrisponde a 2 x−2 √ x2− 4< ε2, ossia √ x2− 4> x− 1 2ε2 osserviamo che, se ε > √ 4, questa disequazione è sempre ( x≥ 2) verificata, mentre per ε≤…