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Politecnico di Milano Scuola di Ingegneria Industriale e dell'Informazione Corso di Studi in Ingegneria Matematica Appello di Modelli e Metodi dell'Inferenza Statistica 27 Luglio 2016 c⃝I diritti d'autore sono riservati. Ogni sfruttamento commerciale non autorizzato sar a perseguito. Nome e cognome: Numero di matricola: Esercizio 1: Sia X1; ::; Xn un campione casuale di legge Bernoulli di parametro p 2 (0; 1) di dimensione n  3. Si de nisca il parametro = p2 e si risolvano i seguenti punti: (a) Si calcoli lo stimatore di massima verosimiglianza b per e se ne calcoli la distorsione. (b) Si stabilisca la consistenza, l'asintotica normalit a e si dimostri l'asintotica efficienza di b . (c) Si costruisca un intervallo di con denza per asintoticamente di livello 1 2 (0; 1). (d) Si costruisca una regione critica asintoticamente di livello 2 (0; 1) per il test d'ipotesi H0 : = 0 vs H1 : ̸= 0: (e) Si consideri lo stimatore e = X1X2. Se ne calcoli la legge. A partire da e si costruisca l'UMVUE per . 1 Esercizio 2: Sia X1; ::; Xn un campione casuale d'ampiezza n  1 in cui ciascuna variabile abbia legge f (x; ) = 2x 2 1(0;)(x); di parametro  > 0. (a) Si trovi una statistica T sufficiente e minimale per . (b) Si calcoli lo stimatore dei momenti  per . (c) Si calcoli l'errore quadratico medio di . (d) Si consideri ora noto il valore del parametro  = 0 e si ssi n = 1. Si costruisca il test UMP di livello 2 (0; 1) per il test d'ipotesi H0 : X  f (x; 0) vs H1 : X  U (0; 0): (e) Si calcoli la potenza del test costruito al punto (d) e si stabilisca se il test  e non distorto. 2 Esercizio 3 Il dataset \Reddito.txt" contiene i valori delle seguenti variabili, espresse nelle opportune unit a di misura, per 38 differenti citt a di uno stesso paese: Age (et a media dei…