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ANALISI MA TEMA TICA II – Seconda prova in itinere 3 luglio 2013 Cognome: Nome: Matricola: Firma: Proff. Gazzola, Marchini, BoellaIng. CHI-EL T-MA T I seguenti quesiti e il relativo svolgimento sono coperti da diritto d'autore; pertanto essi non possono essere sfruttati a ni commerciali o di pubblicazione editoriale. Ogni abuso sar a perseguito a termini di legge dal titolare del diritto.c⃝ • T utte le risposte devono essere motivate. Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo e, in caso di necessit` a, sul retro. I fogli di brutta non devono essere consegnati. • Ogni esercizio vale 7 punti, la domanda di teoria vale 3 punti. Domanda di teoria. Enunciare il teorema del rotore (o di Stokes). Soluzione. Cfr. libro di testo. Esercizio 1. Siano f (x; y) = 1 (4 + x2 + y2)3=2 ; D = {(x; y) ∈ R2; x2 + y2 < 1; x > 0} : Calcolare ∫ ∫ D f (x; y) dx dy : Soluzione. Passando in coordinate polari otteniamo ∫ ∫ D f (x; y) dx dy = ∫ =2 =2 d ∫ 1 0  (4 + 2)3=2 d =  ( 1 2 − 1√ 5 ) : Esercizio 2. Si consideri il campo F(x; y; z) = (2 xy; x2 + 2yz; y 2): Determinare se F ` e conservativo. In caso affermativo calcolarne un potenziale. Calcolare il lavoro di F lungo la curva di equazione parametrica r(t) = (cos t; sin t; t); t ∈ [0; 2]: Soluzione. Il campo F ` e irrotazionale su R3, essendo rot F = (2y − 2y)i − (0 − 0)j + (2x − 2x)k; quindi, poich´ eR3 ` e semplicemente connesso, F ` e conservativo. Una funzione U = U (x; y; z) ` e un potenziale per F se e solo se valgono le seguenti relazioni Ux = 2xy; U y = x2 + 2yz; U z = y2: (1) Integrando la prima componente di F rispetto ad x troviamo U (x; y; z) = ∫ 2xy dx = x2y + c(y; z); per una funzione c(y; z) dipendente solo da y e z. Derivando rispetto ad y quanto ottenuto troviamo Uy = x2 + cy: Imponendo la…