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Politecnico di Milano — Meccanica Razionale — Prova del 28.6.2018 In un piano verticale una lamina quadrata, omogenea ABCD di lato ℓ e massa m, ` e vincolata a scorrere lungo un asse verticale. I suoi vertici superiori A e B sono vincolati attraverso altrettante cerniere a due aste AP e BQ, omogenee di lunghezza L e massa M , i cui ulteriori estremi P e Q scorrono lungo un asse orizzontale (vedi figura). Si utilizzi come coordinata libera l’angolo θ che le aste determinano con l’orizzontale. 1. Determinare la velocit` a dei punti della lamina e le velocit` a angolari delle due aste. 2. [Statica] Determinare l’intensit` a della forza orizzontale F da applicare sul punto Q affinch´ e il sistema sia in equilibrio quando θ = π 6 . 3. [Dinamica] Determinare ora come debba dipendere la stessa forza da θ affinch´ e durante il moto si abbia ˙θ = ω 0 = cost. Calcolare durante il moto il valore della reazione vincolare agente sull’a sta BQ in Q. A B CD P Q ℓ, m L, ML, M F θ x y Domanda di teoria. Equazioni cardinali della dinamica Soluzione Siano i,j due versori rispettivamente orizzontale verso destra (parallelo a P Q) e verticale verso l’alto. Es- sendo yB = −L sin θ si ha ˙ yB = −L ˙θ cos θ. Si ricavano inoltre vB = ˙yB j, ω(AP ) = − ˙θ k, e ω(BQ) = ˙θ k. Per ricavare il valore di F all’equilibrio utilizziamo il Principio dei Lavori Virtuali. Essendo xQ = 1 2 ℓ + L cos θ si ottiene δxQ = −L sin θ δθ, da cui δL(a) = ( − F L sin θ + (m + M )gL cos θ ) δθ =⇒ F = (m + M )g cot θ ⏐ ⏐ ⏐ θ= π 6 = (m + M )g √ 3. Ricaviamo il valore di F (θ) in dinamica utilizzando il Teorema dell’energia cinetica. Detto G il centro di massa dell’asta BQ si ha vG = 1 2 ( − L sin θ i − L cos θ j )˙θ, da cui segue T = 1 2 m ˙y2 B + 2 ( 1 2 M 1 4 L2 ˙θ2 + 1 2 1 12 M L2 ˙θ2 ) = 1 2 ( m cos2 θ + 2 3 M ) L2 ˙θ2…