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Es. 1 Es. 2 Es. 3 Totale Politecnico di Milano - Ingegneria Energetica Metodi Analitici e Numerici 28-6-2018 Cognome: Nome: Matricola: Punteggi degli esercizi: Es.1: 6 punti; Es.2: 6 punti; Es.3: 4 punti. Istruzioni: Tutte le risposte devono essere motivate; non ` e concesso l’uso di libri di testo, appunti ed eserciziari; non ` e permesso l’uso di calcolatori di alcun genere. Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo e, in caso di necessit` a, sul retro. I fogli di brutta non devono essere consegnati. Esercizio 1. `E dato il problema di Dirichlet per l’equazione della diffusione    ∂ ∂tu(x,t )− ∂2 ∂x2u(x,t ) = 0, x ∈ (0,π ), t> 0, u(0,t ) =u(π,t ) = 1, t> 0, u(x, 0) = cos(2x), x ∈ (0,π ). a. Determinarne, attraverso la separazione di variabile, una soluzione. b. Enunciare il principio del massimo per l’equazione della diffusione. c. Dimostrare che tale soluzione ` e unica. d. Stabilire se esiste (x,t )∈ [0,π ]× [0, +∞) tale che|u(x,t )| = 5. Soluzioni a. Consideriamo la funzione ausiliaria v(x,t ) =u(x,t )− 1, (x,t )∈ [0,π ]× [0, +∞), costruita come differenza tra la soluzione u e la retta costante passante per i punti (0 , 1) e (π, 1). Essa soddisfa il problema omogeneo al bordo    ∂ ∂tv(x,t )− ∂2 ∂x2v(x,t ) = 0, x ∈ (0,π ), t> 0, v(0,t ) =v(π,t ) = 0, t> 0, v(x, 0) = cos(2x)− 1, x ∈ (0,π ). Per risolvere tale problema ausiliario, utilizziamo la separazione di variabili. Cerchiamo quindi una soluzione del problema della forma v(x,t ) =α(t)β(x), ove α∈C1([0, +∞)) e β∈C2([0,π ]), con α,β ̸= 0. Derivando tale funzione e sostituendola nell’equazione, si vede che α e β soddisfano le identit` a α′(t) α(t) = β′′(x) β(x) =λ∈ R (incognita da determinare). Considerando l’equazione per β, si deduce che essa risolve il problema…