28 AGOSTO 2024

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Politecnico di Milano – Ingegneria Matematica Analisi Matematica II, A.A. 2023–2024 Quinto appello – 28 Agosto 2024 – Durata: 2 ore e 30 minuti Cognome e Nome: Matricola: Si raccomanda di giustificare adeguatamentetutti i passaggi, citando gli strumenti teorici necessari. I fogli di protocollo vanno utilizzati esclusivamenteper la brutta: possono essere consegnati solonel caso in cui si sia esaurito tutto lo spazio disponibile (fronte + retro), previa autorizzazione del docente. Esercizio 1 (5 punti) Si consideri l’equazione differenziale y′ = t2 (y − 1)2 . (a) Trovare la soluzione generale. (b) Risolvere il problema di Cauchy con dato inizialey(0) = 0. (c) Stabilire se la soluzione trovata al punto (b) ammette asintoti verticali. Soluzione: (a) Si tratta di un’equazione a variabili separabili, che ammette come soluzione costantey ≡ 1. Per y diverse da tale valore, possiamo dividere per il fattore(y − 1)2, ottenendo: y′ (y − 1)2 = t2 , ovvero −  1 y − 1 ′ = t2 . Integrando, ricaviamo 1 y − 1 = − t3 3 + c , c ∈ R , ovvero y(t) = 1 − 3 t3 + c , c ∈ R . (b) Sostituendo t = 0 e y(0) = 0 nell’espressione della soluzione generale trovata, otteniamo l’identità 0 = 1 − 3 c =⇒ c = 3 , da cui y(t) = 1 − 3 t3 + 3 . (c) La soluzione trovata al punto (b) è definita nell’intervallo massimale IM =  − 3√ 3, +∞  e sviluppa un asintoto verticale int = − 3√ 3 poiché lim t→− 3√ 3 + y(t) = −∞ . 1 Esercizio 2 (5 punti) Sia f (x, y) = x − x|y| . (a) Calcolare ∇f (0, 0). (b) Stabilire se f è differenziabile in(0, 0). (c) Calcolare la derivata direzionale dif in (0, 0) nella direzione v = √ 2/2, − √ 2/2
. Soluzione: (a) Verifichiamo l’esistenza delle derivate parziali in(0, 0). Si ha: lim h→0 f (h, 0) − f (0, 0) h = lim h→0 h h = 1 = ∂f ∂x (0, 0) ; lim h→0 f (0, h) − f (0, 0) h = lim h→0…