28giugno18

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Analisi Matematica II - 28 giugno 2018 Cognome: Nome: Nota bene: Leggere bene le domande e rispondere esclusivamente a quanto ` e chiesto. Domanda 1. Definire un punto interno, esterno, di frontiera di un sottoinsieme di Rn (2 punti). Domanda 2 Sia A ⊊ R n un insieme aperto e f :A→ R. Definire un punto di massimo globale e locale per f (1+1 punti). Domanda 3 Sia (X,d ) uno spazio metrico. Definire una funzione lipschitziana f : X→ X (2 punti). Scrivere una condizione sufficiente di lipschitzianeit` a per una funzione f : R→ R (2 punti). Analisi Matematica II - 28 giugno 2018 Cognome: Nome: Nota bene: Leggere bene il testo degli esercizi e rispondere esclusivamente a quanto ` e chiesto. Scrivere chiaramente le risposte e i passaggi principali. Esercizio 1 . Data la successione di funzioni fn(x) = arctan (n x ) , si determini l’insieme di convergenza puntuale (2 punti), il limite (2 punti) e su quali intervalli la convergenza ` e uniforme (2 punti). Soluzione. La funzione ` e dispari ed ` e definita per x̸= 0, quindi la possiamo studiare in A ={x∈ R : x > 0}. Per ogni x∈ A la successione fn(x) converge a f(x) = π/2. Poich´ e limx→+∞fn(x) = 0, la convergenza non pu` o essere uniforme inA. Sia K >0; poich´ e ognifn ` e decrescente, sup x∈(0,K) |fn(x)−f(x)| = π 2−fn(K)→ 0 quando n→∞ , quindi la convergenza ` e uniforme in (0,K ). Esercizio 2 (6 punti). Determinare per quali valori di a la forma differenziale ω = (x−y)dx + (x +y)dy (x2 +y2)a ` e chiusa (4 punti) e per quali valori ` e esatta (2 punti). Soluzione. Calcolando ∂ ∂y x−y (x2 +y2)a− ∂ ∂x x +y (x2 +y2)a vediamo che la forma ` e chiusa perα = 1. Per α = 1 la funzione V (x,y ) = y x2 +y2− arctan(x/y) ` e un potenziale diω, quindi la forma ` e anche esatta. Esercizio 3 . Si determini l’integrale generale (4 punti)…