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Politecnico di Milano - Scuola di Ingegneria Industriale III Appello di Statistica per Ingegneria Energetica 29 gennaio 2013 c⃝I diritti d’autore sono riservati. Ogni sfruttamento commerciale non autorizzato sarà perseguito. Cognome, Nome e Numero di matricola: Problema 1 . Nell’anno 2244, la ditta Ciao mette in vendita un nuovo tipo di astroscooter, con un serbatoio di 64 litri. La distanza X percorsa con un litro di carburante, misurata in leghe spaziali, è una variabile aleatoria continua che ha funzione di ripartizione FX(x) =    0, se x≤ 0, α− 1 (1 +x)3, se x> 0. Determinare: (a) il valore diα per cuiFX è una funzione di ripartizione e, per tale valore diα, la densitàfX, (b) i grafici qualitativi diFX e fX, (c) il valore atteso di X, (d) la varianza di X. Ipotizziamo ora che le distanze percorse con ciascun litro del serbatoio siano indipendenti fra di loro. Sia Y la distanza totale percorsa utilizzando tutto il serbatoio da 64 litri. (e) Calcolare valore atteso e varianza diY. Il giovane Wiz ha appena fatto il pieno al serbatoio del suo astroscooter Ciao e deve andare a casa di un amico, che dista 45 leghe spaziali. (f) Calcolare la probabilità, eventualmente approssimata, che Wiz riesca a raggiungere la casa dell’amico con il carburante a disposizione. Soluzione. (a) limx→+∞F (x) = 1⇒α = 1. fX(x) = 3 (1+x)4 I(0,+∞)(x). (c) E[X] = ∫ ∞ 0 3x (1 +x)4 dx = 0.5, (d) E[X 2] = ∫ ∞ 0 3x2 (1 +x)4 dx = 1, per cuiσ2 X = E[X 2]− E[X]2 = 3 4, (e) Detta Xk la distanze percorsa con ilk-esimo litro del serbatoio, si haY =X1 +··· +X64, per cui E[Y ] = 64· E[X] = 32 e Var[Y ] = 64· Var[X] = 48. (f) Wiz raggiunge la casa dell’amico con il carburante a disposizione se la distanza totale percorsa è maggiore o uguale a 45 leghe spaziali, cioèY ≥ 45. Essendo il campione numeroso, per…