29 01 18

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ANALISI MATEMATICA 1 Area dell’Ingegneria dell’Informazione Appello del 29.01.2018 TEMA 1 Esercizio 1 [6 punti] Si consideri la funzione f(x) := log|x2− 5| x + 1 . i) Determinare il dominio D dif, le sue eventuali simmetrie e studiarne il segno; determinare i limiti di f agli estremi di D e gli eventuali asintoti; ii) studiare la derivabilit` a, calcolare la derivata e studiare la monotonia di f e determinarne gli eventuali punti di estremo relativo ed assoluto; NON ` e richiesta la derivata seconda; iii) disegnare un grafico qualitativo di f. Esercizio 2 [6 punti] Si consideri la successione an = (−1)ne2n sin 1 n (n− 1)! , n ∈ N,n≥ 2. a) Calcolare limn→∞an; b) studiare la convergenza assoluta e la convergenza semplice della serie ∑∞ n=2an. Esercizio 3 [5 punti] Sia f(z) =z2 + ¯z|z|. Risolvere l’equazione zf (z) =|z|3− 8i, esprimendo le soluzioni in forma algebrica e disegnandole nel piano di Gauss. Esercizio 4 [7 punti] Calcolare il limite lim x→+∞ log(x + 3)− log(x + 1)− sin 2 x cos sin 1 2x−e α x2−e−x al variare di α∈ R. Esercizio 5 [8 punti] a) Studiare la convergenza dell’integrale generalizzato ∫ +∞ √ 2 1 xα√ x2− 2 dx al variare di α∈ R; b) calcolarlo per α = 1. Esercizio facoltativo. Sia x0∈ R e si definisca la successione {an :n∈ N} ponendo a0 =x0 e, per ogni n≥ 1, an+1 = sinan. a) Dimostrare che an ` e definitivamente monotona pern→ +∞; b) dimostrare che limn→+∞an = 0. NB: con log si indica il logaritmo in base e. Tempo a disposizione: tre ore. Il candidato deve consegnare questo foglio assieme al foglio intestato. La brutta copia non va consegnata: viene corretto solo ci` o che ` e scritto sul foglio intestato.`E vietato tenere con s´ e, anche spenti, telefoni e calcolatrici di qualsiasi tipo e usare libri e appunti, ad eccezione di quanto si trova scritto sul…