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Fondamenti di Automatica (Prof. Bascetta) Seconda prova scritta intermedia Anno accademico 2014/2015 29 Giugno 2015 Soluzioni Esercizio 1 1.1 Il diagramma di Bode del modulo di L taglia l’asse a 0 dB approssimativamente alla pulsazione 10 rad/s. Calcolo del margine di fase: ( ) ( ) ( ) ( )τ−°=ϕ⇒ τ−°−=τ−−=ϕ 10arctan296 10arctan28410arctan210arctan m c Imponendo che il margine di fase valga 20° si ottiene: ( ) ( ) 078.038tan1.07610arctan2 =°=τ⇒°=τ 1.2 Poiché il margine di fase è piccolo, è opportuno approssimare la funzione di trasferimento del sistema in anel lo chiuso con quella di un sistema del secondo ordine. Lo smorzamento ξ dei poli può essere valutato con la formula: 17.02sin =     ϕ=ξ m L’espressione della funzione di trasferimento è quindi: ( ) 1004.3 100 2 222 2 ++ = ++ = ssss sF cc c ωξω ω Mentre il valore esatto assunto in ωc è: ( ) 88.22 1 =ξ=ωcjF 1.3 Tempo di assestamento al 99%: ( ) 71.21017.0 6.4100ln 1 =×=ξω=τ c a Periodo delle oscillazioni: 638.0 1 2 2 = ξ−ω π= c T 1.4 Il diagramma polare di L si traccia facilmente tenendo conto che la fase passa da 0 a −270°. Di conseguenza si traccia il diagramma di Nyquist. Poiché il sistema in anello chiuso è asintoticamente stabile, il diagramma non gira intorno al punto −1. Esercizio 2 2.1 Poiché è richiesto un errore a transitorio esaurito finito ma non necessariamente nullo, è sufficiente che la funzione di trasferimento d’anello abbia tipo gL nullo, e quindi che il regolatore abbia tipo nullo: gR = 0. In questo caso, l’errore dovuto al riferimento vale: 66.515.01 1 ≥µ⇒≤+µ=∞ R R e È opportuno scegliere µR=10. Pertanto: ( ) .101 =µ= Rg R s sR Il requisito di attenuazione del disturbo in linea di retroazione comporta che: ( ) 3dB,40 ≥ω−≤ωjL Per il progetto dinamico, consideriamo la funzione di…