29 06 16

Pagina 1

ANDREA LANDELLA 03 Agosto 2016 Correzione pretest esame Analisi 1 e Geometria – (10 CFU, 082919) in data 29 Giugno 2016 1 1. Si osserva che i limiti di integrazione creano un insieme simmetrico rispetto all’origine, quindi si osserva la parità o disparità dell’integranda. La funzione x2 è pari, e la funzione sinh(x3) è una composizione di funzioni dispari, quindi anch’essa è dispari. L’integrale si semplifica quindi come: 11 12 3 2 3 0 10 22sinh 2 33x x dx x dx x      2. La matrice M è singolare, quindi con determinante nullo. L’equazione secolare per ricavare gli autovalori di una matrice quadrata A è det(A – λI) = 0, pertanto si prevede che almeno un λ = 0: 22det (2 )(1 ) 2 ( 3) 011               le soluzioni sono pertanto λ = 3 e λ = 0, le quali sono reali e con molteplicità algebrica pari a 2. 3. L’applicazione lineare Φ : A → B, con dim(A) ≠ dim(B), è iniettiva se e solo se la dimensione delle immagini è maggiore o uguale alla dimensione delle controimmagini, ovvero dim(ker(Φ)) = 0. Sia n = dim(A), deve valere sempre che n = dim(ker(Φ)) + dim(Im(Φ)), interpretabile come un princìpio di conservazione delle dimensioni. Il primo addendo caratterizza le dimensioni dello spazio nullo di Φ, ovvero quei vettori x che rendono Φ x = 0, mentre il secondo addendo caratterizza le dimensioni dello spazio delle immagini della trasformazione. Si ha che dim(Im(Φ)) = rk(Φ), perché le immagini dell’applicazione sono generate dalle indipendenze lineari della matrice caratteristica Φ. Si nota che dim(Im(Φ)) ≤ dim(B) in generale, assumendo che dim(Im(Φ)) = dim(B) allora deve esistere dim(ker(Φ)) = n – dim(B) ≥ 0. La funzione Φ non è iniettiva se n – dim(B) > 0 perché la dimensione delle controimmagini è maggiore della dimensione delle immagini. Per fare in…