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Corso di Statistica - Prof. F abio Zucca Appello 1 - 29 luglio 2016 Nome e cognome: Matricola: c⃝I diritti d’autore sono riservati. Ogni sfruttamento commerciale no n autorizzato sar` a perseguito. 8994 Esercizio 1 Si consideri la seguente famiglia di funzioni ad un parametr o p ∈ R fp(x) :=      − p x = 1, 2, − 2 2p2 + p 2 + 9 32 x = 0 − 3p x = − 1. 1. Determinare tutti i valori di p affinch´ efp risulti una densit` a discreta. In tal caso si denoti con X una variabile con tale densit` a. 2. Calcolare il valore atteso e la varianza di X, 3. Calcolare P ( − 1 2 < X ≤ 3 2 ) e P ( X ≤ 3 2 |X > − 1 2 ) . 4. Calcolare P(X 2 ≥ X). 5. Sia {Xi}i una successione di variabili aleatorie i.i.d. distribuite come X. Calcolare il minimo valore di n ≥ 1 tale che P (∑n i=1 Xi ≤ − 25 ) ≥ 0.9 (nel caso ricorriate ad un’approssimazione, trascurate l a correzione di continuit` a). 1 Soluzione. 1. Le condizioni necessarie e sufficienti sono fp(x) ≥ 0 per ogni x ∈ R e ∑ x∈ R fp(x) = 1. Impostiamo la seconda condizione 1 = ∑ x∈ R fp(x) = 2 p2 + p 2 + 9 32 − 3p − 3p = 2p2 − 11p 2 + 9 32 che equivale a 0 = 2 p2 − 11p 2 − 23 32 = ( p + 1 8 )( 2p − 23 4 ) che restituisce le due soluzioni p = − 1/8 e p = 23/8 di cui solo la prima rispetta la prima condizione. Pertanto l’unica densit` a ` ef− 1/8 che d’ora in poi denoteremo semplicemente con f e sia X una variabile di tale densit` a. f (x) :=      1/8 x = 1, 2, − 2 1/4 x = 0 3/8 x = − 1. 2. Il valore atteso si ottiene nel modo seguente µ := E[X] = ∑ x∈ R xf (x) = 1 8 + 2 1 8 − 2 1 8 − 3 8 = − 1 4 mentre la varianza si calcola a partire da E[X 2] = ∑ x∈ R x2f (x) = 1 8 + 4 1 8 + 4 1 8 + 3 8 = 3 2 che implica σ2 := var(X) = E[X 2] − E[X]2 = 23/16. 3. Chiaramente P(X ∈ I) = ∑ x∈ I f (x) da cui P(X ∈ (− 1/2, 3/2]) = 2 /8 + 1/8 = 3 /8. Similmente…