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PRIMA PROV A IN ITINERE DI ANALISI 1 E GEOMETRIA - 29 NOVEMBRE 2013 VERSIONE 1 DOCENTI: E. BERETTA, M. BOELLA, M. CITTERIO, R. NOTARI Parte A Esercizio 1. Enunciare e dimostrare il Teorema del Confronto per successioni. Esercizio 2. Enunciare il Principio d’ induzione ed applicarlo poi per verificare che n!  3n 2 per ogni numero naturale n  2. Esercizio 3. Definire il prodotto vettoriale. Risolvere quindi l’ equazione ⃗ v^ ⃗j = ⃗k, con (⃗i,⃗j, ⃗k) base naturale dei vettori geometrici dello spazio euclideo di dimensione 3 . 1 2 Prima prova in itinere di Analisi 1 e Geometria - 29 Novembre 2013 Versione 1 Docenti: E. Beretta, M. Boella, M. Citterio, R. Notari Parte B Esercizio 1. Determinare estremo superiore, inferiore, minimo, massimo dell’ insieme X = f e n + cos(nπ) j n 2 Ng  R, giustificando opportunamente le affermazioni fatte. Studiare quindi lim n!+1 ( e n + cos(nπ)) . Esercizio 2. Rappresentare nel piano complesso i numeri z 2 C che verificano{ jz 2j  2 Re ((z + 1)(1 i))  3 . Determinare quindi le soluzioni di z3 = 4i che si trovano nella regione precedente. Esercizio 3. Siano date le rette r { x + y 2z = 1 2x y z = 2 ed s    x = t y = 2t + 1 z = 3t + 2 ed il punto A(1, 1, 0). Determinare la posizione mutua di r ed s. Calcolare l’ equazione cartesiana del piano α per A parallelo sia ad r sia ad s, e le distanze d(r, α), d(A, r). Dire poi per quali punti P del piano α si ha d(r, α) = d(r, P). Esercizio 4. Studiare il carattere della serie +1∑ n=1 (n2 + ( 1)n)pn ln ( 1 + 1 na ) al variare di a 2 R. Esercizio 5. Sia f : [ 2, 2] ! R la funzione di grafico y x−2 −1 1 2 1 −1 Disegnare con cura il grafico della funzione g(x) = f (jx 1j 1) 1. Quali sono gli intervalli di massima ampiezza in cui f (x) ` e invertibile? Disegnare le inverse di f in tali intervalli.