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Analisi Matematica 2 - Ingegneria Fisica 29 giugno 2009 Cognome: Nome: Firma: P AR TE B Professore: G. Arioli Matricola: c⃝ I seguenti quesiti e il relativo svolgimento sono coperti da diritto d’autore; pertanto essi non possono essere sfruttati a fini commerciali o di pubblicazione editoriale. Ogni abuso sar` a perseguito a termini di legge dal titolare del diritto. 1. Si consideri il sistema autonomo { x ′ = 2y cos( x 2 + y 2 ) y ′ =− 2x cos( x 2 + y 2 ). (1.1 Si trovino i punti di equilibrio. (1.2 Se ne discuta la stabilit˚ a. (1.3 Si tracci un grafico qualitativo delle traiettorie del sistema. 1 2. Si consideri la famiglia di equazioni differenziali y ′ = αx (1− y 2 )(y− 1). dove α∈ I R. (2.1) Si applica il teorema di esistenza e unicit˚ a in piccolo? In grande? (2.2) Per quali valori di α tutte le soluzioni sono definite su tutto I R? (2.3) Tracciare il grafico di alcune soluzioni per α = 1. 2