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Analisi Matematica I e Geometria Ingegneria Gestionale 30 gennaio 2019 Cenno di svolgimento Esercizi Es.1. Sia F la funzione integrale de nita ponendo F (x) = ∫ x 0 et t + 3 dt : a. Determinare il dominio di F . b. Calcolare (se esiste) il limite lim x!+1 F (x) . c. Scrivere lo sviluppo di MacLaurin del secondo ordine con resto secondo Peano della funzione F . Svolgimento. a. Il dominio di F  e il pi u ampio intervallo contenente x0 = 0 su cui la funzione integranda f (t) = et t + 3 sia integrabile. Per t ! 3 , si ha f (t)  e 3 1 t + 3 > 0 , quindi f non  e integrabile per confronto asintotico; inoltre l'integranda f  e continua su ( 3; +1) e quindi integrabile su ogni intervallo di estremi 0 e x con x > 3 . Il dominio di F  e dunque( 3; +1) b. Osservato che f  e continua su [0; +1) , si ha lim x!+1 F (x) = ∫ +1 0 f (t) dt . Essendo lim t!+1 f (t) = + 1 , in un intorno di +1 sar af (t) > 1 ; poich e ∫ +1 0 1 dt = +1 , per confronto si ottiene che ∫ +1 0 f (t) dt = +1 e quindi lim x!+1 F (x) = + 1 . c. Lo sviluppo di MacLaurin del secondo ordine con resto secondo Peano di una funzione F  e F (x) = F (0) + F ′(0) x + 1 2 F ′′(0) x2 + o ( x2) : Calcolati F (0) = ∫ 0 0 et t + 3 dt = 0 , F ′(x) = f (x) e quindi F ′(0) = 1 3 , F ′′(x) = f ′(x) = ex(x + 2) (x + 3)2 e quindi F ′′(0) = 2 9 , abbiamo F (x) = 1 2 x + 1 9 x2 + o ( x2) : 1 Es.2. Calcolare i seguenti integrali: a. ∫ x cos2 x dx b. ∫ 4 ex e4x 1 dx Svolgimento. a. Usiamo formule trigonometriche per riscrivere l'integranda e poi integriamo per parti: ∫ x cos2 x dx = ∫ x 1+cos(2 x) 2 dx = ∫ x 2 + ∫ x
D sin(2x) 4 dx = = x2 4 + x sin(2x) 4 ∫ sin(2x) 4 dx = x2 4 + x sin(2x) 4 + cos(2x) 8 + c : Oppure, ricordando che ∫ cos2 x dx = 1 2 x + 1 4 sin 2x + k , integriamo subito per parti: ∫ x cos2 x dx = x ( 1 2 x +…