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ANALISI MATEMATICA II – Prima prova in itinere 30 aprile 2013 Cognome: Nome: Matricola: Firma: Proff. Gazzola, Marchini, BoellaIng. CHI-ELT-MAT I seguenti quesiti e il relativo svolgimento sono coperti da diritto d’autore; pertanto essi non possono essere sfruttati a fini commerciali o di pubblicazione editoriale. Ogni abuso sar` a perseguito a termini di legge dal titolare del diritto.c⃝ • Tutte le risposte devono essere motivate. Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo e, in caso di necessit` a, sul retro. I fogli di brutta non devono essere consegnati. • Ogni esercizio vale 7 punti, la domanda di teoria vale 3 punti. Domanda di teoria. Serie geometriche. Spiegare cosa sono e quando convergono; in caso di convergenza, dimostrare la formula che consente di calcolarne la somma. Soluzione: Cfr. libro di testo. Esercizio 1. Discutere continuit` a, derivabilit` a e differenziabilit` a in (0, 0) della funzione f(x,y ) =    y2 sinx x2 +y2 se (x,y )̸= (0, 0) 0 se ( x,y ) = (0, 0) . Cosa si pu` o dire delle derivate direzionali dif in (0, 0)? Soluzione: La funzione ` e continua in (0, 0), infatti, passando alle coordinate polari, si ottiene lim (x,y)→(0,0) f(x,y ) = lim (x,y)→(0,0) y2 sinx x2 +y2 = lim ϱ→0 (ϱ sinϑ)2 sin(ϱ cosϑ) ϱ2 { sin(ϱ cosϑ)∼ϱ cosϑ se ϱ→ 0 } = lim ϱ→0 ϱ3 sin2ϑ cosϑ ϱ2 = lim ϱ→0 ϱ sin2ϑ cosϑ = 0. Osservato poi che f(x,y )≡ 0 sugli assi, si ricava immediatamente che fx(0, 0) = 0 e fy(0, 0) = 0, dunque f ` e derivabile nell’origine. La funzione f non ` e differenziabile nell’origine, infatti, applicando la definizione di differenziabilit` a nell’o- rigine, si ottiene che lim (h,k)→(0,0) f(0 +h, 0 +k)− [ f(0, 0) +fx(0, 0)h +fy(0, 0)k ] √ h2 +k2 ̸= 0, infatti (con passaggi analoghi al limite precedente) lim (h,k)→(0,0) f(0 +h, 0…