30 04 2014

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Esame di Geometria e Algebra Lineare Politecnico di Milano – Ingegneria informatica Prima prova in itinere – 30 Aprile 2014 Al termine dell’esame verranno ritirati solo i fogli di protocollo contenenti la bella copia della risoluzione, sui quali andr` a indicato nome, cognome e numero di matri- cola. Il testo dell’esame e qualsiasi altro materiale non deve essere consegnato. La risoluzione deve essere completa di tutti i passaggi necessari alla comprensione dello svolgimento degli esercizi. 1. Siano r : { x + h2z− h + 1 = 0 x− y + 2 = 0 Π : x + y + (h2 + 1)z− h− 1 = 0. (a) Determinare, al variare del parametro reale h, la mutua posizione di r e Π. (b) Per h = √ 2 trovare l’intersezione tra r e Π invertendo la matrice associata al sistema lineare. 2. (a) Fissato un sistema di riferimento nello spazio, scrivere l’equazione cartesiana del piano Π contenente i punti di coordinate: P0 =   1 1 1   , P 1 =   0 1 0   , P 2 =   1 0 2   . Π ` e uno spazio vettoriale? Se non lo ` e trovare un piano ˜Π parallelo a Π che lo sia e calcolarne una base. (b) Sia V =L (v1, v2, v3) , dove v1 =   1 0 1   , v2 =   1 −1 0   , v3 =   0 1 1   . Trovare dimensioni e basi di V, V + ˜Π e V∩ ˜Π. (c) Stabilire se il vettore v = (1, 1, 2)T appartiene a ˜Π, V, V + ˜Π e V∩ ˜Π. 3. Siano V = R3[x], W = MatR(2, 2) ed f∈ HomR(V, W ) l’applicazione rappresentata, rispetto alle basi canonicheSV ={1, x, x2, x3} eSW ={E11, E12, E21, E22}, dalla matrice A =   0 1 1 1 0 −1 1 −1 0 −1 1 −1 1 0 0 0   . (a) Trovare la dimensione ed una base del nucleo ker( A) e dello spazio delle colonne C(A). (b) Calcolare f(1 + x2− x3). (c) Trovare una base di ker( f) e di Im( f). Si riesce a riconoscere Im( f)? (d) Completare le basi del punto precedente rispettivamente ad una base BV di V e ad…