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1 Prova del 30 Giugno 2004 Esercizio 1 1. Si consideri il seguente sistema dinamico a tempo continuo: 11 23 31 2 3 3 () () 3 ( ) () () 2 ( ) () () 3 ( ) (1 ) () () () () xt xt u t xt x t u t x tx t x t x t u yt x t α α =+⎧ ⎪ =−⎪⎨ =− − − + +⎪ ⎪ =⎩    t 1.a Si calcoli la funz ione di trasferimento da u ad y e si determini per quali valori del parametro reale α il sistema è asintoticamente stabile. Nell’ipotesi che , passando alle trasformate di Laplace si ha 12 3(0) (0) (0) 0xx x== = 11 23 31 2 3 3 1 3 2 3 33 3 3 2 3 () () 3 ( ) () () 2 ( ) () () 3 ( ) (1 ) () () () () 3 2 23 3( 1 ) 33 61 3( 1 ) 3 6( sX s X s U s sX s X s U s sX s X s X s X s U s Ys X s UX s XUX s XUUsX X Uss YX UUsX Uss s ss sXs α α α αα α α α =+⎧ ⎪ =−⎪⎨ =− − − + +⎪ ⎪ =⎩ ⎧ =⎪ −⎪ −⎪ =⎪⎨ ⎪ −=− − − + +⎪ −⎪ ⎪ =⎩ ⎛⎞ ++ + = − + +⎜⎟ −⎝⎠ ++ + − += 2 3 2 )( ) () 6( 3 ) ,() [3 (1 ) ] ss s Uss ssYX Uss s αα α αα αα −+ − − −+ − +== −+ + + da cui la f.d.t. richiesta: 22 22 ( ) 6( 3 ) 6( 3 )() () ( )[3 (1 ) ] 3 (3 ) Y s ss ssGs Us ss s s αα αα αα α α α −+ − + −+ − +== =−+ + + − + − − + +2 3s s 0D = ⎡ ⎤ ⎢ ⎥− =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ . Metodo alternativo: , ove 1() ( )Gs C sI A B D−=− + [ ] 00 3 00 1 , 2 , 0 0 1 , 13 (1 ) 1 AB C α α ⎡⎤ ⎡ ⎤ ⎢⎥ ⎢ ⎥== − =⎢⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎥ ⎢ ⎥−− − +⎣⎦ ⎣ ⎦ : si ha che [] 1 00 3 () 0 0 1 0 1 2 13 (1 ) 1 s Gs s s α α − −⎡⎤ ⎢⎥=− ⎢⎥ ⎢⎥ ++⎣⎦ 2 [] [] [( 1 )] 3 1 3 1 00 1 0 ( )[ (1 )] 3( ) 2() [ (1 )] 3() 0( [( 1 )] 3 0 0 3 1 00 1 1 ( )[ (1 )] 2() [ (1 )] 3() 3( ) ( ) 1 T ss s ss sss s s ss s ss ss sss s s ss s s α αα ααα α αα α αα ααα α αα ++ + − − ) 1 ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎢ ⎥=− + + − − − =⎢ ⎥⎢ ⎥−+ + + − ⎢ ⎥⎢ ⎥−−⎣ ⎦⎣ ⎦ ++ +⎡⎤ ⎢⎥=− − + +⎢⎥−+ + + − ⎢⎥ −− − −⎣⎦ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥− −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ []2 2 2 22 3 3 1 3( ) ( ) 2( )[3 (1 ) ] 1 3 6() () ( )[3 (1 ) ] 6( 3 ) .3( 3 ) ss s sss s ss s s ss s ss ss s αααα αα αα αα αα α = ⎡⎤ ⎢⎥=− − − − −…