30 06 17 1

Pagina 1

Calcolo Numerico CdL Ingegneria Biomedica 30 giugno 2017 Prof. P.F. Antonietti Prof. P. Zunino Firma leggibile dello studente Cognome: Nome: Matricola: ISTRUZIONI • Riportare le risposte nello spazio indicato. • Gli esercizi richiedono luso di Matlab. Riportare sul foglio esclusivamente gli output richiesti. • Tempo a disposizione: 1h 30m. SPAZIO RISERVATO ALLA COMMISSIONE Esercizio 1 Esercizio 2 Esercizio 3 Totale 10 punti Esercizio 1. Si consideri il sistema lineare Ax = b, dove A∈ Rn×n ` e una matrice invertibile e b∈ Rn un vettore assegnato. (a) (2 punti) Enunciare e commentare la relazione tra errore e residuo per i sistemi lineari, definendo la notazione utilizzata. Versione n. 1 – Pag. 1 (b) (2 punti) Si riportino almeno due condizioni sufficienti affinch` e una matrice A ammetta un’unica fattorizzazione LU . (c) (2 punti) Verificare che la matrice A∈ R9×9 definita come A(i,j) =    9 se j = i −3 se j = i± 1 0 altrimenti soddisfa il criterio enunciato al punto precente. Riportare sul foglio i passaggi effettuati e i relativi output. Versione n. 1 – Pag. 2 (d) (2 punti) Calcolare la fattorizzazione LU della matrice A e riportare i fattori calcolati. (e) (1 punto) Sia b = [3, 3, 3, 3, . . . ,3, 3]T Utilizzando i fattori calcolati al punto precedente, si risolva il sistema lineare Ax = b. Si riporti il vettore della soluzione numerica. (f) (1 punto) Quale altro metodo numerico si sarebbe potuto utilizzare per risolvere il sistema lineare? Giustificare la risposta e fornire una breve descrizione del metodo proposto. Versione n. 1 – Pag. 3 12 punti Esercizio 2. Si consideri il seguente problema di Cauchy:    y′(t) = exp(−5t) 1 + t2 − 5y + 25 t∈ (0,1] y(0) = 5 , (a) (1 punto) Verificare che la soluzione esatta ` e data day(t) = exp(−5t)atan(t) + 5. (b) (3 punti) Descrivere…