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Analisi Matematica 2 - Ingegneria Fisica 30 aprile 09 Cognome: Nome: Firma: P AR TE B Professore: G. Arioli Matricola: c⃝ I seguenti quesiti e il relativo svolgimento sono coperti da diritto d’autore; pertanto essi non possono essere sfruttati a fini commerciali o di pubblicazione editoriale. Ogni abuso sar` a perseguito a termini di legge dal titolare del diritto. 1. Si consideri il campo di forze F : R 3→ R 3 definito da F (x,y,z ) = x x 2 + y 2 + z 2 i + y x 2 + y 2 + z 2 j + z x 2 + y 2 + z 2 k. (1.1) Si verifichi che ` e irrotazionale. (1.2) Si dica se dal punto precedente si pu` o dedurre che ` e conservativo. (1.3) Si calcoli una funzione V (x,y,z ) tale che ∇V = F . (♥ ) Si generalizzino le risposte precedenti al caso F (x,y,z ) = x (x 2 + y 2 + z 2 )α i + y (x 2 + y 2 + z 2 )α j + z (x 2 + y 2 + z 2 )α k. con α∈ R . 1 2. Si consideri la successione di funzioni fk : R\{ 0}→ R\{ 0} definita da fk (x) = x −k (2.1) Si determini l’insieme A⊂ R dove converge puntualmente. (2.2) Si calcoli la funzione limite f : A→ R . (2.3) Si determini in quali regioni la convergenza ` e uniforme. 2