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Analisi Matematica II - 03 Maggio 2013 Cognome: Nome: Matricola: Nota bene: Leggere bene le domande e rispondere esclusivamente a quanto ` e chiesto. Domanda 1 . Sia A⊂ R3 un insieme aperto e F : A→ R3 un campo vettoriale C 1. (a) Definire il potenziale vettore. (b) Scrivere una condizione necessaria per l’esistenza del potenziale vettore. Domanda 2 Sia A⊂ R2 un insieme aperto e sia f : A−→ R. (a) Dare la definizione di punto di massimo libero locale. (b) Enunciare il teorema di Fermat. Domanda 3 Sia r : [a, b]→ R3 una curva. (a) Quale condizione deve soddisfare per essere detta regolare? (b) Definire il versore normale in un punto r(t). Analisi Matematica II - 03 Maggio 2013 Cognome: Nome: Matricola: Nota bene: Leggere bene il testo degli esercizi e rispondere esclusivamente a quanto ` e chiesto. Scrivere chiaramente le risposte e i passaggi principali. Esercizio 1 . Calcolare Sia D ={(x, y)∈ R2 : ( x− 1)2 + y2≤ 3}. Calcolare ∫ D xy dx dy direttamente e usando la formula di Gauss-Green. Esercizio 2 . Calcolare lim (x,y)→(0,0) √ |x|y4 x4 + y4 . Esercizio 3 . Calcolare lo sviluppo di Taylor con resto di Peano al quarto ordine di f(x, y) = √ 1− x2y .