5 Esercizi su test 28II parte 29

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Modelli e Metodi dell’Inferenza Statistica A.A. 2019/2020 Esercizio 1. Data la famiglia di leggi f(x;θ) = 2 θ2 ( θ−x ) I(0,θ)(x), si vuole sottoporre a verifica H0 :θ =θ0 controH1 :θ =θ1, con 0<θ 1 <θ 0. Trovare un test pi` u potente di livello α basato su un campione di ampiezza 1 e calcolarne la potenza contro θ1. Esercizio 2. Si trovi un test pi` u potente di livelloα basato su un campione di ampiezza 1 per verificare H0 :X∼N(0, 1) contro H1 :X∼C (1, 0), ovvero X variabile di Cauchy di mediana 0. Esercizio 3. Sia X1,...,X n un campione casuale da una popolazione N(µ,σ 2 0), con µ∈ R incognito e σ2 0 > 0 noto. (a) Trovare un test pi` u potente di livelloα per H0 :µ =µ0 controH1 :µ =µ1, con µ1 >µ 0. (b) Dedurre da (a) un test uniformemente pi` u potente di livello α per H0 :µ =µ0 controH1 :µ>µ 0. Esercizio 4. Per una variabile X si consideri il modello statistico definito da f(x;β) =βxβ−1, 0<x< 1. (a) Trovare un test di Neyman-Pearson di dimensione α (basato su un campione di ampiezza 1) per H0 :β = 1 contro H1 :β =β1, con β1 > 1. (b) Il test trovato in (a) ` e distorto? (c) Per le ipotesi statistiche del punto (a), fissato β1 > 1, si calcoli la potenza massima che pu` o avere un arbitrario test di livello α. (d) Dedurre da (a) un test uniformemente pi` u potente di livello α per H0 :β = 1 contro H1 :β >1. Esercizio 5. Si trovi un test pi` u potente di livelloα basato su un campione di ampiezza 1 per verificare H0 :X∼f0 controH1 :X∼f1, dove f0(x) = e−x2/2 √ 2π , f 1(x) = e−|x| 2 . Esercizio 6. Mostrare che un test basato sul rapporto di verosimiglianza per due ipotesi semplici ` e sempre un test di Neyman-Pearson. Esercizio 7. Si mostri che il modello statistico definito da f(x;θ) = 1 π[1 + (x−θ)2], θ ∈ R, non ha rapporto di verosimiglianza monotono in X. Esercizio 8.…