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Analisi Matematica II - 05 settembre 2014 Cognome: Nome: Matricola: Domanda 1 . Enunciare il teorema della divergenza. Domanda 2 . Sia r :A⊂ R2→ R3 una superficie. 1. Quale condizione deve soddisfare per essere detta regolare? 2. Quale condizione deve soddisfare per essere detta orientabile?. Domanda 3 . Dato un sistema di equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti y′(t) =Ay(t) 1. Definire la matrice esponenziale eAt. 2. Spiegare la relazione tra la matrice esponenziale e le soluzioni del sistema. Esercizio 1 . Determinare i punti di massimo e minimo delle funzioni f(x,y ) = √ 2x2 +y2−x3, g (x,y ) =xy3 nella regione A ={(x,y )∈ R2, 2x2 +y2 = 3}. Esercizio 2 . Si consideri il problema    y′′(x)− 2αy′(x) +α2y(x) =x y′(0) = 0 y′(1) = 0. 1. Risolverlo per α = 1. 2. Determinare per quali valori di α∈ R il problema ammette almeno una soluzione. Esercizio 3 . Calcolare il flusso uscente dalla regione A ={(x,y,z )∈ R3, x> 0,y >0,z >0, 2x +y + 3z <1} del campo vettoriale F = (y,x 2,z ). Esercizio 4 . Sia data l’equazione differenziale y′ =y +xy2. 1. Vono verificate le ipotesi del teorema di esistenza e unicit` a locale? Globale? 2. Determinare il luogo dei punti a tangente orizzontale, il luogo dove le soluzioni sono crescenti o decrescenti ed eventuali soluzioni costanti. 3. Calcolare l’integrale generale dell’equazione.