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Soluzione esercizi. Prova scritta del 30/6/2023 A.1 Calcolare la soluzione del problema di trasporto lineare
u t + 3ux = 0 x ∈ R, t > 0 u (x, 0) = H(x) x ∈ R dove H è la funzione di Heaviside. Disegnarne il grafico per t = 2. Risposta. È l’onda progressiva a velocità costante v = 3 , nella direzione positiva dell’asse x, data da u (x, t) = H (x − 3t) =
0 ... x < 3t 1 ... x > 3t. x ( ,2) 0 u x = 6 ( ,2) 1 u x = Figure 1: Grafico di u (x, 2) A.2 Determinare la funzione y = y (t) tale che e−t ∗ y (t) = sinh t. (t > 0) . Risposta. È un’equazione di convoluzione. Applicando la trasformat a di Laplace ad entrambi i membri, si ottiene: L[e−t] (s) L[y (t)] (s) = L[ sinh t] (s) . Essendo L[e−t] (s) = 1 s + 1 e L[ sinh t] (s) = 1 s2 − 1 si ricava L[y (t)] (s) = 1 s − 1 (s > 1) da cui y (t) = etH (t) . 1 B.1 Risolvere il seguente problema di Cauchy con condizioni di D irichlet:    u t − uxx = 1 0 < x < π, t > 0 u (0, t) = 0 , u (π, t) = 0 t > 0 u (x, 0) = 0 0 < x < π. a) Determinare una soluzione tramite i metodi di Duhamel e di se parazione delle variabili. Sono richieste in particolare : a1) l’impostazione e i passaggi principali dei metodi . Risposta. Essendo i dati di Dirichlet omogenei, per ogni valore di fiss ato s ∈ [0, t], determiniamo la soluzione w = w (x, t; s) del problema    w t − wxx = 0 0 < x < π, t > 0 w (0, t; s) = 0 = w (π, t; s) = 0 t > 0 w (x, 0; s) = 1 0 < x < π. La soluzione del problema originale è data da u (x, t) =  t 0 w (x, t − s; s) ds. Per determinare w usiamo il metodo si separazione delle variabili, ponendo w (x, t; s) = z (x) v (t; s) . Sostituendo, e separando le variabili si trovano i prob- lemi v′ = λv (t > 0) =⇒ v (t, s) = c (s) eλt e z′′ − λz = 0 0 < x < π z (0) = 0 = z (π) = 0 . Gli autovalori sono λm = −m2, con autofunzioni…