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Analisi Matematica II - 06 luglio 2017 Cognome: Nome: Matricola: Nota bene: Leggere bene le domande e rispondere esclusivamente a quanto ` e chiesto. Domanda 1 . Sia f : R2→ R una funzione di classe C 1. Dimostrare che ` e differenziabile. Domanda 2 Sia{fn} una successione di funzioni, fn : R→ R. Definire la convergenza puntuale e uniforme di fn a f. Domanda 3 Enunciare il teorema di esistenza e unicit` a locale per il problema di Cauchy. Analisi Matematica II - 06 luglio 2017 Cognome: Nome: Matricola: Nota bene: Leggere bene il testo degli esercizi e rispondere esclusivamente a quanto ` e chiesto. Scrivere chiaramente le risposte e i passaggi principali. Esercizio 1 . Sia D ={(x, y)∈ R2 : x≥ 0 , y≥ 0} ; calcolare ∫ D e−(x2+y2)2 (x− 3y) √ x2 + y2 dx dy . Esercizio 2 . Determinare massimi e minimi, relativi e/o assoluti, della funzione f(x, y) = ey−x2 nella regione A ={(x, y)∈ R2 : x + 1≤ y≤ √ 1− x2} . Esercizio 3 . Determinare al variare di a∈ R la stabilit` a dell’origine per il sistema { x′ =−2x + y y′ = ax .