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Soluzione esercizi. Prova scritta del 30/6/2023 A.1 Il problema di Cauchy non omogeneo    u t − uxx = xe−t 0 < x < 1, t > 0 u (x, 0) = 0 0 ≤ x ≤ 1 u (0, t) = u (1, t) = 0 t ≥ 0 ha come soluzione u (x, t) =  t 0 w (x, t − s; s) ds. Di quale problema w = w(x, t; s) è soluzione? Risposta. Per ogni s fissato tra 0 e t, w (x, t; s) è soluzione del problema    w t − wxx = 0 0 < x < 1, t > 0 w (x, 0; s) = xe−s 0 ≤ x ≤ 1 w (0, t; s) = w (1, t; s) = 0 t ≥ 0 A.2 Sia f continua a tratti in [0, +∞) e tale che |f (t)| ≤ Me at, M > 0, a ∈ R, per ogni t ≥ 0. La derivata della trasformata di Laplace F di f è F ′ (s) = 1 s4 (s > 0) . Determinare f. Risposta. Si possono usare (almeno) due modi: A) Dalle ipotesi su f, si ha F (s) → 0 per s → +∞. Perciò F (s) =  1 s4 ds = − 1 3 1 s3 (s > 0) . Essendo L−1[1/s3] (t) = 1 2 t2H (t), dove H è la funzione di Heaviside, si ha f (t) = − 1 6 t2H (t) . B) Dalle ipotesi su f, vale la formula −tf (t) = L−1[F ′] (t) . Essendo L−1[1/s4] (t) = 1 6 t3H (t) , si trova f (t) = − 1 6 t2H (t) . 1 B.1 Si consideri il seguente problema di Dirichlet-Robin:  −2(exu′)′ + u = 1 3√x 0 ≤ x ≤ 1 −2u (0) = 1 , 2eu′ (1) + 3u (1) = 1 . Dimostrare esistenza ed unicità della soluzione debole tra mite il teorema di Lax-Milgram. In particolare: a1) Ricavare la formulazione debole riportando il procediment o per otten- erla, giustificando tutti i passaggi e le scelte e mettendo in evidenza la forma bilineare, il funzionale lineare e lo spazio funzionale. Risposta. Essendo non nullo il dato di Dirichlet in x = 0, introduciamo la funzione rilevamento z (x) = −1/2 e poniamo U (x) = u (x) + 1/2. Il problema per U è  −2(exU ′)′ + U = 1 3√x + 1 2 0 ≤ x ≤ 1 U (0) = 0 , 2eU ′ (1) + 3U (1) = 5 2 . Lo spazio funzionale appropriato per U e v è V = H 1 0,1 (0, 1), nel quale vale…