Appello 31Agosto2018

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Teoria dei fenomeni aleatori e della stima – 31/08/2018 • Ogni esercizio viene valutato da 0 a 6 punti • Verranno valutate solo le parti scritte in penna – non usare correttori • Non riportare solo il risultato, ma cerca di argomentare sinteticamente la risposta. • Riportare il proprio nome, cognome, numero di matricola su ogni foglio consegnato • Esercizio da escludere dal punteggio finale: 1 La banca vi consegna la nuova tessera bancomat con il relativo codice PIN. Il codice ha 5 cifre: tutti i numeri da 00000 a 99999 sono possibili, e vengono assegnati a caso con legge di probabilit` a uniforme. Qual ` e la probabilit` a che vi sia stato assegnato un codice PIN contenente esattamente tre cifre 0? 2 Vi viene proposto il seguente gioco: si compie una successione di lanci di una moneta bilanciata, dove effettuare ogni lancio vi costa 1 e. Se si ottengono 3 teste di fila allora si vincono 10 e e il gioco termina. Mediamente vi aspettate di guadagnare o perdere da questo gioco? Suggerimento: aiutarsi con un diagramma ad albero per calcolare i lanci attesi da effettuare per osservare l’evento di interesse, e impostare il teorema dell’aspettativa totale. 3 Sia X una v.a. continua con legge fX(x) =c/x4 per x≥ 1 e fX(x) = 0 altrimenti. Determinare (a) La costante c. (b) La legge di probabilit` a cumulata. (c) Quali momenti E[Xn] di X esistono, per n = 1, 2,··· . La varianza di X esiste? 4 Una mattina dovete recarvi in banca: sapete che dalle ore 09:00 in poi i clienti cominceranno ad arrivare secondo un processo di Poisson con tasso λ = 10 clienti/ora. Decidete di partire da casa alle ore 09:00 per recarvi in banca, e sapete che il tempo per raggiungerla sar` a di X = 20 +Y minuti, dove Y ∼ Exp(2). Quanti clienti saranno gi` a arrivati, in media, al momento del vostro arrivo? La…