Appello 31gennaio2022

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Informazione e stima – 31/01/2022 ˆ Ogni esercizio viene valutato da 0 a 6 punti. ˆ Verranno valutate solo le parti scritte in penna – non usare correttori. ˆ Non riportare solo il risultato, ma cercare di argomentare sinteticamente la risposta. ˆ Riportare il proprio nome, cognome, e codice persona su ogni foglio consegnato. ˆ Esercizio da escludere dal punteggio finale: 1 Si estraggono 13 carte da un mazzo di 52 ben mescolato. Si considerino gli eventi A = {4 di picche, 4 di cuori, 3 di quadri, 2 di fiori }, B = {estrarre 4, 4, 3, 2 carte nei diversi semi }. (a) Senza fare calcoli, dire quale tra A e B ` e l’evento pi` u probabile. Giustificare la risposta. (b) Calcolare le probabilit` a degli eventiA e B. Le estrazioni sono senza reinserimento. Nel mazzo ci sono 13 carte di ogni seme. 2 Si consideri una moneta ben bilanciata. Sia X il numero di teste e Y il numero di croci in n lanci? (a) Senza fare calcoli, dire qual ` e il segno del coefficiente di correlazione lineare tra X e Y . Giustificare la risposta. (b) Calcolare la covarianza tra X e Y . 3 Sia X ∼ U [0, 1] e Y = 1 X . Si calcoli la legge di probabilit` a diY . Si presti attenzione ai valori assunti da Y . 4 Sia X ∼ U [0, 1]. Si considerino le successioni di v.a. {Yn} e {Zn} con Yn = X n e Zn = 1 Yn+1 per n ∈ N. Determinare se le successioni convergono in probabilit` a e, se s` ı, a quale valore. 5 Partendo da campioni uniformemente distribuiti in [0 , 1], usare il metodo acceptance-rejection per cam- pionare una v.a. X con legge fX(x) =  3 32(4 − (x + 2)2) −4 ≤ x ≤ 0 0 altrimenti (1) Scrivere l’algoritmo acceptance-rejection con la miglior efficienza possibile. Mediamente quanti campioni uniformi bisogna generare per vedere un campione X accettato? 6 Una moneta non bilanciata ha Pr(Testa) = 3 4. Qual ` e…