Appello2011luglio06

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Politecnico di Milano Facolt` a di Ingegneria dei Sistemi Corso di Studi in Ingegneria Matematica Appello di Modelli e Metodi dell’Inferenza Statistica 06 Luglio 2011 Nome e cognome: Numero di matricola: Esercizio 1. Sia X1, . . . , Xn un campione casuale da una distribuzione con densit` a f (x; θ) = ( θ 2 ) e−θ|x|I(x)(−∞,+∞) dove θ ` e un parametro positivo incognito. (a) Si determini una statistica sufficiente, minimale e completa T per θ. (b) Si calcoli e si riconosca la legge di T . (c) Si dimostri che la famiglia delle leggi di T ha rapporto di likelihood monotono decrescente. (d) Si costruisca un test UMP di livello α per H0: θ ≤ θ0 vs H1: θ > θ 0. (e) Facoltativo Si dimostri che il test costruito al punto (d) ` e non distorto. (f) Si costruisca una quantit` a pivotale Q per θ basandosi su T . (g) Si costruisca un intervallo di confidenza per θ di livello (1 − α), basato su Q. 1 Esercizio 2 Si supponga che nella misurazione del raggio R di un cuscinetto a sfera si commetta un errore con dis- tribuzione Normale di media nulla e varianza nota σ2, e che vengano eseguite n misurazioni indipendenti di tale raggio. (a) Si descriva il modello statistico delle n misure del raggio. (b) Sia Vi la variabile aleatoria che rappresenta il volume del cuscinetto a sfera in corrispondenza della misurazione Ri del raggio, per ogni i = 1, ..., n. Si calcoli il valore medio di Vi. (c) Si trovi lo stimatore di massima verosimiglianza ˆVM L per il volume incognito V . (d) Si calcoli la distorsione di ˆVM L, come stimatore di V . (e) Si calcoli la probabilit` a che ˆVM L sottostimi il volume incognito V . (f) Si determini se ˆVM L ` e consistente. (g) Si determini la legge asintotica di ˆVM L. 2 Esercizio 3 Il dataset “GREEN.txt” contiene le distanze (mt) percorse da n = 150 individui,…