Appello2012settembre13

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Politecnico di Milano Facolt` a di Ingegneria dei Sistemi Corso di Studi in Ingegneria Matematica Appello di Modelli e Metodi dell’Inferenza Statistica 13 Settembre 2012 Nome e cognome: Numero di matricola: Esercizio 1. Sia X1, . . . , Xn un campione casuale da una distribuzione di densit` a f (x; θ) = θx(θ−1)I(0,1)(x) dove θ ` e un parametro positivo incognito, θ ≥ 2 (a) Costruire il test UMP di livello α per la verifica delle ipotesi H0 : θ = 2 vs H1 : θ = θ1, con θ1 > 2. (b) Costruire il test UMP di livello α per la verifica delle ipotesi H0 : θ = 2 vs H1 : θ > 2. (c) Calcolare la funzione potenza del test costruito al punto (b) . (d) Costruire un Intervallo di Confidenza di livello (1 − α) per il parametro θ. 1 Esercizio 2 Il numero di clienti N che si presenta in un centro commerciale la vigilia di Natale ` e modellizzabile come una v.a. con legge di Poisson di parametro λ > 0. Ciascun cliente compra qualcosa e indipendentemente dagli altri paga i propri acquisti con carta di credito con probabilit` a p incognita. (a) Calcolare la probabilit` a che su J clienti esattamente k paghino con carta di credito. (b) Detta Z la variabile aleatoria che conta il numero di clienti che nel centro commerciale pagano con carta di credito, dimostrare che Z ha legge di Poisson di parametro λp. (c) Si supponga di osservare un campione Z1, ..., Zn su n centri commerciali. Proporre uno stimatore Wn per il parametro incognito r = λp. (d) Si supponga di intervistare n clienti chiedendo a ciascuno se ha pagato o meno con carta di credito. Le risposte dei clienti possono essere modellizzate come un campione casuale ( Y1, ..., Yn) con Yi Bernoulli di parametro p incognito. Supponendo che il parametro λ sia noto di proponga uno stimatore θn per r, basato sul campione ( Y1, ..., Yn). (e) Si…