Appello2013settembre19

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Politecnico di Milano Facolt` a di Ingegneria dei Sistemi Corso di Studi in Ingegneria Matematica Appello di Modelli e Metodi dell’Inferenza Statistica 19 Settembre 2013 Nome e cognome: Numero di matricola: Esercizio 1. Sia X1, . . . , Xn un campione casuale da una distribuzione di Bernoulli di parametro p: dove p ` e un parametro incognito p ∈ (0, 1), e p ̸= 0.5. (a) Si trovi lo stimatore Tn di massima verosimiglianza per la varianza di Xi. (b) Si stabilisca la legge asintotica di Tn. (c) Si costruisca un Intervallo di Confidenza asintotico di livello 1 − α per la varianza di Xi. (d) Si trovi lo stimatore UMVUE per la varianza di Xi. 1 Esercizio 2 Sia X1, . . . , Xn un campione casuale da una distribuzione con densit` a f (x; θ) = ( θ + 1)xθI(0,1)(x) dove θ ` e un parametro positivo incognito, θ ≥ 1 (a) Si costruisca, utilizzando un campione di ampiezza n = 1, un test UMP di livello α per H0: θ = 1 vs H1: θ = θ1, con θ1 > 1. (b) Si costruisca, utilizzando un campione di ampiezza n = 1, un test UMP di livello α per H0: θ = 1 vs H1: θ > 1. (c) Si determini la funzione potenza β(θ) per il test costruito al punto (b), e se ne calcoli il limite per θ → ∞. (d) Si dimostri che il test costruito al punto (b) ` e non distorto. (e) Si mostri che la densit` a f (x; θ) appartiene alla famiglia esponenziale. (f) Si determini una statistica sufficiente, minimale e completa T per θ. 2 Esercizio 3 Un noto supermercato inglese ha svolto un sondaggio dati relativi alla spesa mensile di 100 suoi clienti abituali. In particolare nel file “spese.txt” sono riportati (in Euro): spesa mensile in generi di prima necessit` a, stipendio mensile, stato civile (single/non-single), sesso (Maschio/Femmina). (a) Analisi esplorativa dei dati. (b) Fitting del modello completo (senza interazioni) per…