Appello2013settembre4

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Politecnico di Milano Facolt` a di Ingegneria dei Sistemi Corso di Studi in Ingegneria Matematica Appello di Modelli e Metodi dell’Inferenza Statistica 04 Settembre 2013 Nome e cognome: Numero di matricola: Esercizio 1. Sia X1, . . . , Xn un campione casuale da una distribuzione di Poisson di parametro λ: f (x; λ) = λxe−λ x! x = 0 , 1, 2, ... dove λ ` e un parametro incognito positivo, λ > 0. (a) Si esprima il Coefficiente di Variazione (CV) di X in funzione di λ. (b) Si trovi lo stimatore Tn di massima verosimiglianza per CV. (c) Si stabilisca la legge asintotica di Tn. (d) Si verifichi che Tn ` e asintoticamente efficiente. (e) Si costruisca un Intervallo di Confidenza asintotico di livello 1 − α per CV . (f) Si dimostri che Tn ` e consistente per CV. 1 Esercizio 2 Sia X una variabile aleatoria con densit` a f (x; θ) = θkekxe−θex Γ(k) I(−∞,+∞)(x) dove k ` e un parametro positivonoto e θ ` e un parametro positivo incognito, θ > 0 (a) Si dimostri che W = ∑n i=1 eXi ` e una statistica sufficiente, minimale e completa per θ. (b) Si calcoli la legge di e X . (c) Si calcoli e si riconosca la legge di W . (d) Si costruisca un test UMP di livello α per H0: θ ≤ θ0 vs H1: θ > θ 0. (e) Si costruisca una quantit` a pivotale per θ basandosi su W , e si ricavi un Intervallo di Confidenza di livello 1 − α per θ. 2 Esercizio 3 Il dataset TITANIC.txt contiene dati relativi al disastro del Titanic, affondato nella notte tra il 14 e il 15 Aprile 1912. Per 1046 passeggeri sono riportate le informazioni relative al sesso ( sex, variabile categorica con livelli male e female), all’et` a (age) e alla classe ( pclass, variabile che assume i valori 1,2,3) in cui essi viaggiavano. L’outcome di interesse ` e il fatto che i paseggeri siano sopravvissuti o meno al disastro, informazione riportata…