Collection of theoretical questions

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Domande teoria (T) Si enuncino i due teoremi di Gershgorin per la localizzazione degli autovalori di una generica matrice A 2 Rnn. (T) Si descriva il metodo delle potenze inverse con shift per il calcolo dell'autovalore piu vicino ad un certo valore 4. (T) Si forniscano le definizioni di consistenza, stabilita e convergenza di uno schema alle differenze finite. Esercizio 3 - (T) 1. Si descriva la formula di integrazione numerica del trapezio. In particolare se ne forniscano: . la formula semplice e composita; . l'interpretazione geometrica; . la formula dell'errore; . la definizione generale di grado di esattezza e di ordine di accuratezza, specificandone i valori per la formula in oggetto (in versione composita). Quale tra il metodo del trapezio e il metodo del rettangolo risulta piu accurato? Motivare la risposta. 2. Per l'approssimazione della derivata prima di una funzione f, sufficientemente regolare, nei punti interni di un intervallo [a; b]: . si descriva un metodo con ordine di accuratezza 1, specificando la regolarita richiesta per f; 5 . si descriva un metodo con ordine di accuratezza 2, specificando la regolarita richiesta per f; . come si puo ottenere un metodo di ordine 2 per approssimare la derivata nell'estremo b ? 2. (T) Si dimostri la consistenza, l'ordine di convergenza e la zero stabilita per il metodo di Crank-Nicolson. Esercizio 4-a Si descriva il metodo delle potenze nella sua versione standard, inversa e con shift, so®ermandosi inoltre su possibili tecniche per l'individuazione dello shift. Esercizio 4-b Si descriva il metodo delle potenze inverse e si esplicitino tutte le condizioni su±cienti per la convergenza. Come si modi¯ca il metodo per l'approssimazione di un autovalore non estremo? Ø  Teoria: dimostra consistenza, ordine di consistenza,…