Complementi sulle strutture algebriche

Pagina 1

1 COMPLEMENTI SULLE STRUTTURE ALGEBRICHE Consideriamo un gruppo <A,⋅>, un suo sottogruppo H si dice normale in A se per ogni h∈H e per ogni a∈A si ha a-1⋅h⋅a∈H (l’elemento a-1⋅h⋅a si dice anche coniugato di h mediante a, un sottogruppo di un gruppo è quindi normale se e solo se contiene i coniugati di tutti i suoi elementi). L’insieme a-1⋅H⋅a={a-1⋅h⋅a |h∈H} si dice coniugato del sottogruppo H mediante a (verificare che a-1⋅H⋅a è un sottogruppo di <A,⋅>), è facile allora notare che un sottogruppo è normale se e solo se contiene tutti i suoi coniugati. N.B. Per verificare che un sottoinsieme di A sia sottogruppo normale bisogna anche verificare che sia sottogruppo. Osservate che un sottogruppo di un gruppo abeliano è sempre normale. Esempio Si consideri il gruppo M2(R) delle matrici quadrate non singolari di ordine 2 a coefficienti reali, rispetto all’usuale operazione di prodotto di matrici. Il sottoinsieme H delle matrici aventi determinante 1 costituisce un sottogruppo normale di M2(R). Siano infatti A,B∈H, AB e A-1 sono ancora matrici aventi determinante 1, dunque H è un sottogruppo, prendiamo ora una qualsiasi matrice C non singolare quadrata di ordine 2, consideriamo C-1AC, det (C-1AC)= det C-1det A det C= det C-1det C =1; dunque C-1AC∈H. Si consideri ora una congruenza ρ del gruppo <A,⋅>; detta e l’unità del gruppo la classe ρe è un sottogruppo normale di <A,⋅>. Infatti per ogni h,k∈ρe si ha, per definizione di ρ-classe, (h,e)∈ρ e (k,e)∈ρ da cui per definizione di congruenza (h⋅k,e⋅e)∈ρ e quindi (h⋅k,e)∈ρ da cui h⋅k∈ρe; inoltre per la riflessività di ρ si ha (h-1,h-1) ∈ρ e quindi (h⋅h-1,e⋅h-1) ∈ρ da cui (e,h-1) ∈ρ e, per la simmetria di ρ, (h-1,e) ∈ρ quindi h-1∈ρe dunque ρe è un sottogruppo di <A,⋅>. Inoltre per ogni a∈A e per ogni h∈ρe si ha (a-1,a-1)∈ρ, (h,e)∈ρ,…