Disuguaglianza di Gronwall

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1. La disuguaglianza di Gronw all in forma differenziale Lemma. Sia f : (a, b)× A→ RN una funzione continua, lipschitziana rispetto alla seconda variabile, uniformemente rispetto alla prima. Siano c1, c2∈ A, t0∈ (a, b) e siano y1, y2 : (a, b)→ A le soluzioni dei problemi di Cauchy ( i = 1, 2) { y′ i = f (t, yi) yi(t0) = ci , allora |y1(t)− y2(t)|≤ eC|t−t0||c1− c2| per ogni t∈ (a, b), dove C è la costante di Lipschitz di f . Dimostrazione. Data una curva derivabile x : ( a, b) → RN, la funzione |x(t)| è derivabile per ogni t∈ (a, b) tale che x(t)̸= 0 e (ricordando che la disuguaglianza triangolare implica||a|−| b||≤| a− b|)⏐⏐⏐⏐ d dt|x(t)| ⏐⏐⏐⏐ = ⏐⏐⏐⏐ lim h→0 |x(t + h)|−| x(t)| h ⏐⏐⏐⏐≤ lim h→0 ⏐⏐⏐⏐ x(t + h)− x(t) h ⏐⏐⏐⏐ =|x′(t)| . Se c1 = c2, allora y1(t) = y2(t) per il teorema di esistenza e unicità, quindi non c’è nulla da dimostrare. Altrimenti, ancora per il teorema di esistenza e unicità, y1(t)̸= y2(t) per ogni t∈ (a, b) da cui segue⏐⏐⏐⏐ d dt|y1(t)− y2(t)| ⏐⏐⏐⏐≤| y′ 2(t)− y′ 2(t)| =|f (t, y1(t))− f (t, y2(t))|≤ C|y1(t)− y2(t)| . Sia a(t) =|y1(t)− y2(t)|. Allora −Ca(t)≤ a′(t)≤ Ca(t) , e poiché d dt ( e±Cta(t) ) = e±Ct (±Ca(t) + a′(t)) ne segue che ± d dt ( e±Cta(t) ) ≥ 0 , quindi e−Cta(t) è una funzione decrescente, mentre eCta(t) è una funzione crescente. Per ogni t∈ [t0, b) abbiamo e−Ct0 a(t0)≥ e−Cta(t) , quindi a(t)≤ eC(t−t0)a(t0) , mentre per ogni t∈ (a, t0] abbiamo eCt0 a(t0)≥ eCta(t) , quindi a(t)≤ e−C(t−t0)a(t0) =|c1− c2| . Ricordando che a(t0) =|c1− c2|, segue la tesi. □ 1