Materiale diviso per argomento di Mathematical and Numerical Methods in Engineering per il corso di Biomedical Engineering presso Politecnico di Milano. Il documento tratta: &_ Esercizio 1 (Variazione di f(x)) Considera il problema di Cauchy: Ugg — Une = 0 x E (0,+00),t> 0 u(x,0) = sin(z),w(1,0)=0 € (0,+00) u(0,t) =0 t>0 i. Estendi la condizione iniziale f(x) = sin(x) a una funzione dispari definita su IR, e trova la soluzione v = u(x,t) (conx € Ret…
Materiale diviso per argomento di Mathematical and Numerical Methods in Engineering per il corso di Biomedical Engineering presso Politecnico di Milano. Il documento tratta: &_ Esercizio 1 (Variazione di f(x)) Considera il problema di Cauchy: Ugg — Une = 0 x E (0,+00),t> 0 u(x,0) = sin(z),w(1,0)=0 € (0,+00) u(0,t) =0 t>0 i. Estendi la condizione iniziale f(x) = sin(x) a una funzione dispari definita su IR, e trova la soluzione v = u(x,t) (conx € Ret…
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&_ Esercizio 1 (Variazione di f(x)) Considera il problema di Cauchy: Ugg — Une = 0 x E (0,+00),t> 0 u(x,0) = sin(z),w(1,0)=0 € (0,+00) u(0,t) =0 t>0 i. Estendi la condizione iniziale f(x) = sin(x) a una funzione dispari definita su IR, e trova la soluzione v = u(x,t) (conx € Ret > 0) del problema con tali dati estesi. ii. Mostra che v soddisfa la stessa condizione all'origine di u (cioè v(0, t) = 0). iii. Trova u. @ Esercizio 2 (Variazione di g(x)) Considera il problema di Cauchy: Ugg — Une = 0 x € (0,+00),t > 0 u(z,0) = 0,u;(7,0) =e * x € (0,+00) u(0,t) =0 t>0 i. Estendi la condizione iniziale g(x) = e ” a una funzione dispari definita su IR, e trova la soluzione v =v(z,t) (conx € Ret > 0) del problema con tali dati estesi. ii. Mostra che v soddisfa la stessa condizione all'origine di u (cioè v(0, t) = 0). iii. Trova u.
Ricordiamo la Formula di D'Alembert per l'equazione d'onda v4 — Vez = 0 con dati iniziali v(x,0) = foaa(x) e ve(x, 0) = godd(&): att vast) = zlfwa(a +8) + Soule =] + > | | ga(6) dé La soluzione del problema sulla semiretta è u(x,t) = v(z,t) per z > 0. #_ Soluzione Esercizio 1 Uit — Ure = 0 x € (0,+00),t > 0 u(x, 0) = sin(z),w(1,0)=0 ze (0, +00) u(0,t) =0 t>0 i. Estensione e Soluzione v(x,t) La funzione iniziale è f(x) = sin(x) per z > 0. » L'estensione dispari fo4a(x) è semplicemente sin(x), poiché sin(z) è già una funzione dispari. fodd(t) = sin(z) e La condizione sulla velocità è g(a) = 0, quindi goaa(x) = 0. Applicando la formula di D'Alembert (con il termine integrale nullo):
ii. Verifica della Condizione all'Origine 00,4) = 5 fan) de Poiché goaa() è una funzione dispari e l'intervallo di integrazione [—t, t] è simmetrico rispetto all'origine, l'integrale è zero. v(0,t) =0 La condizione v(0,t) = 0 è soddisfatta. iii. Soluzione u dat e *sinh(t) z>t i e 'sinh(z) 0<a<t „ Soluzione Esercizio 3 Unt — Ure = 0 z € (0, +oo),t>0 u(x,0) = ele", u;(2,0)=x x € (0, +00) u(0,t) =0 t>0 i. Estensione e Soluzione v(z, t) - f(x) = x?e-®. L'estensione dispari è foaa(x) = sen(x) : ee Fl. e g(x) = a. L'estensione dispari è goaa(w) = z. La soluzione v(x. t) è la somma di due contributi, vs (soostamento) e v, (velocità).
x Soluzione Esercizio 4 Utt — Ure = 0 x E (0,+00),t> 0 dee a a u(x, 0) = f(x), u(x, 0) =0 ze (0, +00) con f(z) = fo >1 si a u(0,t) =0 t>0 i. Estensione e Soluzione v(z, t) . g(x) =0, quindi goaa(x) = 0. » L'estensione dispari foaa(a) è definita come f,da(z) = f(x) per z > Oe foaa(x) = — f(-2) per x < 0. 0<xz<1 0 zeza 1 -(-#)=2 -1<2x<0 —0=0 a<-—l Foda(®) = In sintesi, foaa(z) = x perz € [-1,1]e foaa(x) = 0 altrove. La soluzione è u(x,t) = 3[foda(® +4) + foda(x — t)]. ii. Verifica della Condizione all'Origine 000,4) = 3 [foal t) + Fata) Poiché foga è dispari, foaa(—t) = — foda(t). 000,8) = 5[foaa(t) — foult)] = 0
Per esplicitare gli estremi, definiamo l'intervallo di integrazione come I = [z — t, z + t]. La funzione Joda(€) è diversa da zero solo in (—2, 2), dove assume il valore sgn(é). Quindi, l'integrale si riduce all'integrazione di sgn(£) sull'intersezione tra I e (—2, 2): min(x+t,2) ue)=5f sen(e)dć 2 max(x—t,—2) Si noti che, dato che z > 0, > 0,a+t> 0. » Sex—t>O(cioexz >t):a—t > 0.sgn(ć) = 1. min(x+t,2) 1 u(x,t) = 5 / 1dé = 5 [min(z + t, 2) — (a — t)| xt . Ser -t<0(cioèr<t): 1 min(0,min(x+t,2)) min(x+t,2) u(e,t) = 5 / Da + f (1) dé ct max(0,max(e-t,—2)) . Ser+t<2er-t>-2: 0 Hb ue.) =3|f Dae+f ayae] = 5-0-9) +e +4) -0) = 31 Questi esempi mostrano come la soluzione (x, t) venga ottenuta dalla restrizione della soluzione v(x, t) sulla semiretta positiva, sfruttando l'estensione dispari dei dati iniziali.
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