Materiale diviso per argomento di Mathematical and Numerical Methods in Engineering per il corso di Biomedical Engineering presso Politecnico di Milano. Il documento tratta: &_, Esercizio 1 (Intervallo (0, r), Modo Singolo) Determina la soluzione u = u(x, t) per il seguente problema, con diffusivita k = 1: Ut — Ure = 0 z €(0,7),t>0 ux(0,t) = use(7,t) =0 t>0 u(x,0) = cos(3x) x € (0,7) # Esercizio 2 (Intervallo (0, 1), Combinazione di Modi) Determina…
Materiale diviso per argomento di Mathematical and Numerical Methods in Engineering per il corso di Biomedical Engineering presso Politecnico di Milano. Il documento tratta: &_, Esercizio 1 (Intervallo (0, r), Modo Singolo) Determina la soluzione u = u(x, t) per il seguente problema, con diffusivita k = 1: Ut — Ure = 0 z €(0,7),t>0 ux(0,t) = use(7,t) =0 t>0 u(x,0) = cos(3x) x € (0,7) # Esercizio 2 (Intervallo (0, 1), Combinazione di Modi) Determina…
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&_, Esercizio 1 (Intervallo (0, r), Modo Singolo) Determina la soluzione u = u(x, t) per il seguente problema, con diffusivita k = 1: Ut — Ure = 0 z €(0,7),t>0 ux(0,t) = use(7,t) =0 t>0 u(x,0) = cos(3x) x € (0,7) # Esercizio 2 (Intervallo (0, 1), Combinazione di Modi) Determina la soluzione u = u(x, t) per il seguente problema, con diffusivita k = 3 (come in H4.pdf k=2): (u — 3uzz = 0 x € (0,1),t>0 uz,(0,t) = uz(1,t) =0 t>0 u(z,0) = 5cos(2rz) — cos(5rz) z € (0,1) . Esercizio 3 (Semplificazione con Identità Trigonometrica) Determina la soluzione u = u(x, t) per il seguente problema, con diffusivita k = 1/2 sull'intervallo (0,1): Wt — Ure = 0 z €(0,1),t>0 uz(0,t) =uz(1,t)=0 t>0 u(«,0)=1— 2sin?(ma) a € (0,1) [x Esercizio 4 (Costante Stazionaria + Modo) Determina la soluzione u = u(z, t) per il seguente problema, con diffusività k = 1 sull'intervallo (0, r):
ÎN Esercizio 4 (Costante Stazionaria + Modo) Determina la soluzione u = ula, t) per il seguente problema, con diffusività k = 1 sull'intervallo (0,7): UW — Ure = 0 x €(0,7),t>0 uz(0,t) = uz(7,t) =0 t>0 u(x,0) = 7+2cos(4xz) z € (0,7) „/ Esercizio 5 (Dato Iniziale Richiede Integrazione) Determina la soluzione u = u(x, t) per il seguente problema, con diffusività k = 1 sull'intervallo (0, 1), dove il dato iniziale è f(x) = z: Ut — Ure = 0 «e(0,1),t>0 Uz(0,t)=uz(1,t)=0 t>0 u(z,0) = z e (0,1) Soluzioni Dettagliate La soluzione generale per il problema di Neumann omogeneo u, (0,ż) = ux(L,t) = 0 è data da una serie di Fourier in coseni: © 00 u(a,t) = hi + Van cos (7) e ME) n=1 dove a,, sono i coefficienti di Fourier della condizione iniziale f(x) = u(z, 0), dati da: àn = 2/1 cos CE) dz
17:53 Mer 10 dic eee TA 380% m) fal < > = gemini.google.com © M + © Ma Volantino] N Carrello Login al sito... o Come dovre... © Crea eserciz... © Google Gemini = Gemini Esercizi sul... v @ ic) IN Esercizio 4 (Costante Stazionaria + Modo) Determina la soluzione u = (x, t) per il seguente problema, con diffusivita k = 1 sull'intervallo (0, 7): Uy Uzz = 0 x €(0,7),t>0 uz(0,t) = uz(7,t) =0 t>0 u(z,0) = 7 + 2cos(4z) € (0,7) „/ Esercizio 5 (Dato Iniziale Richiede Integrazione) Determina la soluzione u = (x, t) per il seguente problema, con diffusivita k = 1 sull'intervallo (0, 1), dove il dato iniziale è f(x) = a: Ut — Ure = 0 x €(0,1),t>0 u,(0,t) =u,(1,t)=0 t>0 u(z,0) = 2 x € (0,1) Soluzioni Dettagliate La soluzione generale per il problema di Neumann omogeneo u,.(0,t) = u,(L,t) = 0 è data da una serie di Fourier in coseni: 2 00 u(a,t) = 5 + Van cos (7) e ME) n=l dove a, sono i coefficienti di Fourier della condizione iniziale f(x) = u(z, 0), dati da: 2 fh dy, = al f(x) cos (7) da Chiedi a Gemini o- + 5 Veloce v fe Gemini può fare errori, anche riguardo a persone, quindi verifica le sue risposte. La tua privacy e Gemini
#_ Soluzione Esercizio 1: f(x) = cos(3z) 1. Parametri: k = 1, L = m. 2. Coefficienti di Fourier: La condizione iniziale f(x) = cos(3x) è già una singola autofunzione (modo n = 3). . ag=l © an=0pern#3. . 5 = 0. 3. Soluzione: u(x,t) = az cos(3x)e E u(a,t) = cos(3x)e ™ # Soluzione Esercizio 2: f(x) = 5cos(2mz) — cos(5rz) 1. Parametri: k = 3, L = 1. 2. Coefficienti di Fourier: La condizione iniziale è già una combinazione di due modi in coseni: «Il termine 5 cos(27x) corrisponde a n = 2, quindi ay = 5. * Il termine — cos(57x) corrisponde a n = 5, quindi az = —1. e Ma 2 * ay = Opern # 2,5. 3. Soluzione: u(a,t) = a2 cos(2ma)e32")"t + as cos(5rz)e 38m)" —127% —TBat u(x,t) = 5 cos(2rz)e — cos(57x)e ,_ Soluzione Esercizio 3: f(x) = 1 — 2sin*(mrz) 1. Parametri: k = 1/2, L = 1.2. Coefficienti di Fourier (Semplificazione): Usiamo l'identità trigonometrica cos(2y) = 1 — 2sin*(y) cony= ra: ©
* Coefficienti a, (n > 1): 2 fl an = — J x cos(nmx)dx 1 Jo Integrando per parti (f udv = uv — | vdu con u = x, dv = cos(nrz)dz): ; 1 Da a, =2 [E sinter) | 7 2 f sin(nrz) dz 0 0 nT nn Il primo termine e zeroa rx = lex =0. 2 cos(nra)]! i 2 an=0- nr | centre) , = ai [cos(nrz)]ę = „272 (008(mr) — cos(0)) 2 n Gn = mat) - 1) * anènullo per n pari, e per n dispari: an = 162) = — a. 3. Soluzione: 4 2 u(a,t) = + = cos(nrz)e "7 t nżm n dispari Si _1 2 22 —(2k+1)'m't = Va 573 Cos((2k + 1)rz)e "2 £4 k+ yr
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