Equilibri e isocline

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Equilibri nei sistemi non lineari 1 EQUILIBRI E ISOCLINE Definizione Un equilibrio è uno stato x t a l e c h e x0x =)( implica xtx =)( 0t≥∀ . Nei sistemi a tempo continuo ))(()( txftx = : x è equilibrio ⇔ 0xf =)( Nei sistemi a tempo discreto ))(()( txf1tx =+ : x è equilibrio ⇔ xxf =)( Nota Bene: 0xf =)( [ xxf =)( ] è un sistema di n equazioni nelle n incognite n21 xxx ,,,  . Esempio: sistemi del 1° ordine Esempio : sistemi a tempo continuo del 2° ordine (isocline) ),( ),( 2122 2111 xxfx xxfx = =   ⇔= ⇔= 0x 0x 2 1   0xxf 0xxf 212 211 = = ),( ),( Equilibri nei sistemi non lineari 2 MOLTEPLICITÀ DEGLI EQUILIBRI Il numero di equilibri di un sistema può essere • 0 (=nessun equilibrio) • 1 (=equilibrio unico) • finito >1 (“equilibri multipli”) (non in un sistema lineare !) • ∞ numerabile (non in un sistema lineare !) • ∞ non numerabile Esempio: crescita logistica: )(tx = biomassa all’istante t   −= k x1rxx 2 equilibri:    = = )( portante capacitàkx 0x La biomassa x(t) tende verso la capacità portante k. Equilibri nei sistemi non lineari 3 Esempio: modello preda-predatore: )(tx1 = biomassa delle prede )(tx2 = biomassa dei predatori 1 21 22 1 211 11 xb xaxemxx 0embakrxb xax k x1rxx ++−= >+−    −=   ,,,,, Equilibri e isocline si trovano ponendo: 0xb axemx 0xb ax k x1rx 1 1 2 1 21 1 =       ++− =    +−    − Equilibri nei sistemi non lineari 4 STABILITÀ Definizione Un equilibrio x è stabile (localmente) se per ogni 0>ε esiste 0>δ tale che 0t0xxtxx0x ≥∀∀ε<−⇒δ<− ),()()( [Qualunque piccola perturbazione dello stato non porta il sistema lontano dall’equilibrio.] Definizione Un equilibrio x è asintoticamente stabile se è stabile e se )()( 0xxtx t ∀→+∞→ [Qualunque piccola perturbazione dello stato viene asintoticamente riassorbita.]…