Esame del 20 giugno 2020

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Domande di Analisi 3 - giugno 2020 • Sia a0 2 + ∞∑ n=1 ( an cosnx +bn sinnx ) la serie di Fourier della funzione f(x) = cos4x− sin4x; allora a2 = 0 ( X)a2 = 1 a2 = 2 a2 = 4 • La singolarit` a della funzionef(z) =z sin 1 z2 in z = 0 ` e eliminabile un polo del prim’ordine ( X)essenziale non isolata • La trasformata di Laplace della funzione cosh 5t + sinh 5t 5 ` e (X) s + 1 s2− 25 s− 1 s2− 25 s + 1 s2 + 25 s− 1 s2 + 25 • La trasformata di Laplace della funzione e−t/2 sin2t ` e 14 (2s+1)(4s2+4s+17) 14 (2s+1)(4s2+4s+13) (X) 16 (2s+1)(4s2+4s+17) 16 (2s+1)(4s2+4s+13) • La trasformata di Fourier della funzione f(x) = x + sinx 1 +x2 (X)appartiene a L2(R) ` e continua ` e reale e dispari ` e immaginaria e spari • La funzione f(x,y ) = 1 (1 + √ x2 +y2) 4 √ x2 +y2 appartiene a Lp(R2) per 2<p< 4 1 <p< 2 1 <p< 4 ( X)4 3 <p< 4 • Sia H(x) la funzione di Heaviside, la derivata distribuzionale della funzione f(x) =H(1−x) +H(x + 1) ` e −δ(−1) +δ(1) δ(−1) +δ(1) ( X)δ(−1)−δ(1) −δ(−1)−δ(1) • Sia γ la curva chiusa definita da{z =x +iy∈ C;|x| +|y| = 1}, percorsa due volte in senso orario. Allora ∫ γ [1 z2− 2 sinz ] dz = 4πi − 4πi (X)8πi − 8πi • La serie di Laurent della funzione f(z) = 1 z(z + 1) nel disco bucato 0 <|z + 1|< 1 ` e data da ∞∑ n=−1 (z + 1)n (X)− ∞∑ n=−1 (z + 1)n ∞∑ n=−1 (−1)n(z + 1)n ∞∑ n=−1 (−1)n+1(z + 1)n • La funzione f(x) = ∫ +∞ −∞ eiξx−|ξ|· sinξ ξ dξ (x∈ R) si pu` o anche riscrivere come (X) arctan(x + 1)− arctan(x− 1) arctan( x + 1) + arctan(x− 1) arctan( x− 1)− arctan(x + 1) − arctan(x + 1)− arctan(x− 1) • La trasformata di Fourier della soluzione u∈L1(R) dell’equazione−8u′′ +u∗e−|x| =e−|x| ` e: 1 (4ξ2 + 1)2 −1 (4ξ2 + 1)2 (X) 1 (2ξ2 + 1)2 −1 (2ξ2 + 1)2 • Detta H la funzione di Heaviside e L la trasformata di Laplace. Se f(t) =H(t− 1)H(2−t)e−t, allora f∗L−1 { 1 (s + 1)2…