esame del 6 luglio 2015

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Prova scritta di ANALISI MA TEMA TICA III 6 luglio 2015 Cognome: Nome: Matricola: Prof. GazzolaIng. Matematica T eor E1 E2 E3 E4 T otale I seguenti quesiti e il relativo svolgimento sono coperti da diritto d’autore; pertanto essi non possono essere sfruttati a fini commerciali o di pubblicazione editoriale. Ogni abuso sar` a perseguito a termini di legge dal titolare del diritto.c⃝ • T utte le risposte devono essere motivate. Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo e, se necessario, sul retro. La brutta copia non deve essere consegnata. Ogni esercizio vale 7 punti, la domanda di teoria vale 4 punti. Domanda di teoria: Data la serie di Fourier a0 2 + +∞∑ n=1 (an cosnx +bn sinnx) : a) enunciare una condizione sufficiente sui coefficientian ebn affinch´ e la serie converga nei puntixk = 1+2kπ, b) enunciare una condizione sufficiente su an e bn affinch´ e la serie converga uniformemente su tuttoR. Esercizio 1. Classificare le singolarit` a della funzione di variabile complessa f(z) = e1/(z−1) z2(z2 + 4) e calcolare i residui in tali punti. Soluzione: In z =±2i, polo del primo’ordine con residui Res(f, 2i) = e−(1+2i)/5 16 i, Res(f,−2i) =−e(−1+2i)/5 16 i. In z = 0 polo del second’ordine con residuo Res(f, 0) = lim z→0 ( e1/(z−1) z2 + 4 )′ =− 1 4e. Inz = 1 vi ` e una singolarit` a essenziale. La funzionef ha all’infinito uno zero del quart’ordine e dunque Res(f,∞) = 0; per il Teorema dei residui si ha quindi Res(f, 1) =− Res(f, 2i)− Res(f,−2i)− Res(f, 0) = 1 4e− sin(2/5) 8e1/5 . Esercizio 2. Stabilire per quali valori di a∈ R ` e Laplace-trasformabile la funzionefa(x) =H(x)eax2+2x sin2x. Calcolare poi la trasformata di Laplace di f0. Soluzione: Deve essere a≤ 0; si ha poi f0(x) =H(x)e2x 1− cos 2x 2 =⇒ (Lf0)(s) = 1 2 1 s− 2− 1 2 s− 2 (s− 2)2 + 4. Esercizio 3.…