Esercitazione 1

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Probabilit` a e Statistica per l’Informatica Esercitazione 1 Esercizio 1: Si consideri l’esperimento che consiste nel lancio simultaneo di due dadi equi, a 6 facce, uno di colore rosso e l’altro di colore blu. a) Descrivere lo spazio campionario Ω e determinarne la cardinalit` a. b) Sia E⊆ Ω e sia P (E) := |E| |Ω|. Dimostrare che P ` e una misura di probabilit` a su (Ω, P(Ω)). Sono dati gli eventiA : “Il dado rosso esibisce un numero pari”, B : “Compare almeno un 6” e C : “La somma dei due lanci ` e dispari”. c) Descrivere gli eventiA,B,C in termini di sottoinsiemi di Ω. Calcolare le probabilit` a di A,B,C . d) Descrivere in termini di A,B e C i seguenti eventi, e calcolarne le probabilit` a. • A e B si verificano entrambi; • si verifica almeno uno tra A e B; • non si verifica n´ eA n´ eB n´ eC; • si verifica almeno uno dei tre eventi; • si verificano B e C ma non A; • si verificano al pi` u 2 dei tre eventi. Soluzione. a) Lo spazio campionario ` e Ω ={(i,j ), con i,j = 1, 2,..., 6} dove il primo (risp. secondo) elemento della coppia rappresenta l’esito del lancio del dado rosso (risp. blu). Dunque |Ω| = 36. b) Facilmente si verifica che P (E)≥ 0, per ogni sottoinsieme E di Ω. Inoltre P (Ω) = |Ω|/|Ω| = 1. Quanto alla σ-additivit` a , consideriamo una famiglia - per forza finita, dal momento che Ω ` e finito - di eventi E1,E 2,...,E n, a due a due disgiunti. Si dovr` a dimostrare che P (∪n i=1Ei) = n∑ i=1 P (Ei) In effetti, dal momento che la cardinalit` a dell’unione di insiemi a due a due disgiunti ` e uguale alla somma delle cardinalit` a, usando la definizione diP , abbiamo P (∪n i=1Ei) =|E1∪... ∪En| |Ω| =|E1| +... +|En| |Ω| = n∑ i=1 P (Ei) Dunque P ` e davvero una misura di probabilit` a sullo spazio (Ω, P(Ω)). 1 c) Abbiamo A = {(2i,j ), con i = 1, 2, 3;j = 1, 2,..., 6} B =…