Esercitazione 4

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Probabilit` a e Statistica per l’Informatica Esercitazione 4 Esercizio 1: [Ispirato all’Esercizio 1, compito del 17/09/2012 del IV appello di Statistica e Calcolo delle probabilit` a , professori Barchielli, Ladelli, Posta.] Sia X una variabile aleatoria con densit` a continua: fX(x) =    c|x| x∈ [−1, 1] 0 altrove a) Determinare la costante c, E[|X|], E[X]. b) Determinare la funzione di ripartizione di X. c) Determinare la legge di X 2 e riconoscerla. d) Calcolare P (X≤ 0|X 2≤ 1/3). e) Calcolare la varianza di X. Soluzione. a) Dev’esserefX(x)≥ 0 per ogni x∈ R e ∫ RfX(x) = ∫ +1 −1 c|x|dx = 1. Da cui si ottiene c = 1. Inoltre, per parit` a della funzione di densit` a, E[X] = ∫ +1 −1 x|x|dx = 0 E[|X|] = ∫ +1 −1 |x|2dx = 2 ∫ +1 0 x2dx = 2 3 b) Per definizione FX(x) =P (X≤x) = ∫x −∞fX(t)dt. Dunque FX(x) =    0 x< −1 ∫x −1(−t)dt = 1−x2 2 −1≤x≤ 0 1 2 + ∫x 0 tdt = 1+x2 2 0≤x≤ 1 1 x≥ 1 c) Calcoliamo innanzitutto la funzione di ripartizione di Y = X 2, ovvero FY (y) := P (Y≤y). Poich´ e la densit` a diX ha supporto in [−1, 1], quella diY ha supporto in [0, 1]. Dunque FY (y) = 0 per ogni y <0 e FY (y) = 1 per ogni y >1. Per y∈ [0, 1] si ha invece FY (y) =P (X 2≤y) =P (−√y≤X≤√y) = 2 ∫ √y 0 xdx =y La densit` afY di Y ` e dunque la funzione fY (y) = I[0,1](y), cio` e si tratta della densit` a uniforme sull’intervallo [0, 1]. 1 d) Abbiamo P (X≤ 0|X 2≤ 1/3) = P (X≤ 0,X 2≤ 1/3) P (X 2≤ 1/3) = P (−1/ √ 3≤X≤ 0) P (X 2≤ 1/3) = FX(0)−FX(−1/ √ 3) FY (1/3) = 1 2− (1−1/3) 2 1 3 = 1/2− 1/3 1/3 = 1 2 e) Nei punti precedenti abbiamo trovatoE[X] = 0 e, dal momento cheX 2 ` e distribuita come un’uniforme su [0, 1], dev’essere E[X 2] = 1/2. Infine Var (X) =E[X 2]−E2[X] = 1 2 Esercizio 2: In base all’orario ufficiale delle Ferrovie dello Stato il treno Lecco-Milano delle ore 14.45…